Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

z
Kun punkt d) kræver noget særskilt bevis:
Vi opsplitter a i komponenterne a12 og a3 , hvor a12 befinder sig i xy-planen, og a3 er parallel med z-aksen:
Vi har a = a12 + a3
, og idet a12 kan opfattes som den
plane vektor a ⎛ 1⎞
⎜ ⎟ , og
⎝a
⎠
a3 = a3k , gælder at
4
2
2 2 2
a = a + a og 2 2
a = a .
12
1
Nu er vektorerne a 12 og a 3 de to kateter i en
retvinklet trekant med hypotenusen a . Pythagoras giver derfor
2
a
= a
2
+ a
2
= a
2
+ a
2
+ a
2
og ved at tage kvadratroden bevises sætningen
12
Skalarproduktet kan udregnes ud fra de to indgående vektorers koordinater:
(6)
x
→
a
→
a
F
G
H
G
12
a
a
a
1
2
3
→
a
Definition 5 (FS)
3
I
J
K
Sætning 7
a)
c)
e)
J ⋅
F
G
H
G
b
b
b
1
2
3
I
J
K
J
y
= a b + a b + a b
3
Skalarproduktet mellem vektorerne a og b er givet ved
a ⋅ b = a b cos v
hvor v er vinklen mellem a og b .
1
1 1 2 2 3 3
Lad
a , b og c være vektorer, t en skalar. Da gælder:
a ⋅ b = b ⋅ a b) a ⋅ ( b + c) = a ⋅ b + a ⋅c
2
a ⋅ a = a
d) ( ta) ⋅ b = a ⋅ ( tb) = t( a ⋅ b)
2
2 2
a ± b = a + b ± 2
a ⋅b
2
3
2
3
3