Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

4.3 Planer og linier
Vi vil nu se, hvorledes man kan beskrive planer og linier i rummet. Beskrivelserne vil på mange
måder minde om beskrivelsen af linier indenfor plangeometrien.
En måde at karakterisere en plan på er ved hjælp af en normalvektor. Betragt figuren
ovenfor. Her er normalvektoren n en egentlig vektor, som står vinkelret på planen, og P 0 er
et fast punkt i planen. Det ses, at punktet P ligger i planen, netop når
→
P P⊥n
0
Dette kan vi bruge til at finde en ligning for planen:
Lader vi normalvektoren n have koordinaterne ⎛a⎞
⎜ ⎟
n = ⎜b⎟
⎜
⎝c⎠
→
n
koordinaterne P0 = ( x0, y0 , z0)
og P x y z
16
⎟ og punkterne P 0
0
og P have
⎛ x − x0
⎞
→ ⎜ ⎟
= ( , , ) , så er P0 P = ⎜ y − y0⎟
. Betingelsen
⎜ ⎟
⎝ z − z ⎠
n⊥ P P
→
0 kan da omformuleres til →
n ⋅ P0 P = 0, og indsættes ovenstående koordinater fås
ligningen for en plan:
Sætning 17 (FS)
Erstatter vi tallet −ax0 −by0 − cz0
med tallet d i denne ligning, så fås en alternativ form for
planens ligning:
(18) ax + by + cz + d = 0.
P 0
Planen med normalvektoren ⎛a⎞
⎜ ⎟
n = ⎜b⎟
⎜ ⎟
⎝c⎠
punktet ( x0, y0, z0
) , har ligningen
P
( n ≠ 0 ) , og som indeholder
a( x − x ) + b( y − y ) + c( z − z ) =
0 0 0 0