Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
⎛ x⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ y⎟<br />
s t<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ z⎠<br />
=<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
+<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
+<br />
0 0 ⎛0⎞<br />
⎜ ⎟<br />
0 1 ⎜0⎟<br />
⎜ ⎟<br />
0 0 ⎝1⎠<br />
18<br />
eller<br />
⎛ x⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ y⎟<br />
s<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ z⎠<br />
t<br />
=<br />
⎛0⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
- denne plan indeholder nemlig punktet (0,0,0) og har retningsvektorerne j og k<br />
Vi vil nu se, hvorledes man kan gå fra den ene beskrivelse af en plan til den anden.<br />
Regnede opgaver<br />
Opgave: Find en ligning for planen med parameterfremstillingen<br />
⎛ x⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ y⎟<br />
s t<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ z⎠<br />
=<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟ + ⎜−<br />
⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
+<br />
1 4 ⎛0⎞<br />
⎜ ⎟<br />
2 1 ⎜2⎟<br />
⎜ ⎟<br />
3 6 ⎝1⎠<br />
Løsning: Vi ser umiddelbart af parameterfremstillingen, at planen indeholder punktet<br />
(1,2,3). Endvidere er vektorerne<br />
⎛ 4 ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
r1 = ⎜−1⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 6 ⎠<br />
og r ⎛0⎞<br />
⎜ ⎟<br />
2 = ⎜2⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝1⎠<br />
ikke-parallelle retningsvektorer for planen, idet deres krydsprodukt ikke er<br />
nulvektoren. Vi finder en normalvektor <br />
n for planen som n = r × r<br />
<br />
n =<br />
⎛−13⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ −4<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 8 ⎠<br />
Heraf ses, at en ligning for planen er<br />
−13( x − 1) − 4( y − 2) + 8( z − 3) = 0<br />
eller, skrevet pænere,<br />
−13x − 4y + 8z − 3= 0<br />
Opgave: Find en parameterfremstilling for planen med ligningen<br />
2x − 2y + z + 3 = 0.<br />
1 2 :<br />
Løsning: Strategien er at finde tre punkter A, B og C i planen. Disse skal ikke ligge på<br />
→<br />
→<br />
sammen linie. AB og AC er da to ikke-parellelle retningsvektorer for<br />
planen.<br />
Sættes x = y = 0, så ses, at punktet A = ( 0, 0, −3<br />
) ligger i planen.<br />
Tilsvarende kan man sætte x = z = 0, hvilket giver, at B = ( 0, 3<br />
2 , 0)<br />
ligger i<br />
planen. Endelig ligger C = ( − 3<br />
2 , 0, 0 ) i planen.<br />
Vi finder retningsvektorerne AB<br />
→ og AC<br />
→<br />
: