Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Eksempel<br />
Vi betragter nu planen α, som indeholder l 1 , og som er parallel med l 2 . Denne plan<br />
kan f.eks. konstrueres ved at parallelforskyde linien l 2 , indtil den skærer l 1 . Den<br />
parallelforskudte linie kan passende kaldes m.<br />
<br />
En normalvektor for planen er <strong>net</strong>op n = r × r , og endvidere gælder pga.<br />
paralleliteten, at<br />
Som i sætning 25 har vi nu, at<br />
hvilket beviser sætningen.<br />
40<br />
1 2<br />
dist( l , l ) = dist( α, l ) = dist( α , P ) .<br />
1 2 2 2<br />
→<br />
n ⋅ P P<br />
→<br />
dist( α, P2 ) = P1P2 <br />
n = <br />
n<br />
1 2<br />
Afstanden mellem linierne l og m givet ved<br />
⎛ x⎞<br />
⎜ ⎟<br />
l:<br />
⎜ y⎟<br />
t<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ z⎠<br />
=<br />
⎛3⎞<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ x⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜5⎟<br />
+ ⎜−2⎟<br />
og m:<br />
⎜ y⎟<br />
t<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝1⎠<br />
⎝ 1 ⎠ ⎝ z⎠<br />
=<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
+<br />
0 ⎛3⎞<br />
⎜ ⎟<br />
3 ⎜1⎟<br />
⎜ ⎟<br />
1 ⎝1⎠<br />
findes:<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
n = rl × rm<br />
= ⎜−<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
×<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
=<br />
1 3 ⎛−3⎞<br />
⎜ ⎟<br />
2 1 ⎜ 2 ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
1 1 ⎝ 7 ⎠<br />
<br />
n =<br />
2 2 2<br />
( − 3) + 2 + 7 = 62<br />
→<br />
P P<br />
1 2<br />
⎛0<br />
− 3⎞<br />
3<br />
⎜ ⎟<br />
= ⎜3<br />
−5⎟<br />
2<br />
⎜ ⎟<br />
⎝1<br />
−1⎠<br />
0<br />
=<br />
⎛−<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜−<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⎛−<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
n ⋅ P P = ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
⋅<br />
3 ⎛−3⎞<br />
→ ⎜ ⎟<br />
1 2 2 ⎜−2⎟<br />
= ( −3)( − 3) + 2( − 2) + 7⋅ 0 = 5<br />
⎜ ⎟<br />
7 ⎝ 0 ⎠<br />
dist( l, m)<br />
→<br />
n ⋅ P1 P2<br />
= <br />
n<br />
=<br />
5<br />
62