Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

4.7 Kugler
Kuglen er et ganske velkendt geometrisk objekt. Vi giver dog alligevel den formelle definition:
Definition 31 (FS)
Lad r > 0 være et positivt reelt tal, og lad C være et punkt i rummet.
Kuglen med centrum C og radius r er defineret som punktmængden
bestående af de punkter P, som opfylder
CP = r
Sætning 32 (FS)
Kuglen med centrum C = ( x0, y0, z0
) og radius r er givet ved
ligningen
( x − x ) + ( y − y ) + ( z − z ) = r
0 2
Bevis:
Dette følger af afstandsformlen i sætning 24 - vi har nemlig, at punktet P = ( x, y, z)
ligger på kuglen, hvis og kun hvis
CP = ( x − x ) + ( y − y ) + ( z − z ) = r
0 2
Idet kuglen kan beskrive med en ligning, så er dimensionen af en kugle lig 3-1=2. Dette
stemmer overens med, at der skal to 'koordinater' eller parametre til, for at bestemme en
position på en kugle. Et sådant 'koordinatsystem' er velkendt: Jordoverfladens længde- og
breddegrader.
46
0 2
0 2
Regnede opgaver
Opgave: Find ligningen for kuglen med centrum ( 3; 19 ; )
Løsning: Vi har umiddelbart, at den søgte ligning er
( x − 3) + ( y + 1) + ( z − 9) = 3
2 2 2 2 .
Opgave: En kugle har ligningen
2 2 2 x + y + z − 2x + 4y + 6z − 1= 0
Find centrum og radius.
Løsning: Vi omskriver ligningen til
2 2 2
x − 2x + y + 4y + z + 6z = 1
⇕
0 2 2 .
0 2
− og radius 3.