Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

4.5 Afstandsbestemmelse i rummet
Vi vil i dette kapitel give formler for, hvorledes man kan bestemme afstanden mellem de
forskellige objekter i rummet, nemlig punkter, linier og planer.
Vi starter med en af de nemme formler:
Sætning 24 (FS)
Bevis:
⎛x
x
→
2 − 1⎞
⎜ ⎟
Denne sætning er en direkte konsekvens af sætning 3, idet PQ = ⎜y2
− y1⎟
⎜ ⎟
⎝ z − z ⎠
og dermed
Afstanden mellem punkterne P = ( x1, y1, z1
)
er givet ved
34
2 1
→
PQ = PQ = ( x − x ) + ( y − y ) + ( z − z )
2 1 2
2 1 2
Eksempel
Afstanden mellem punkterne A = ( 7, 31 , ) og B = ( −1, −2,
3 )
findes ganske let:
og Q = ( x , y , z )
2 2 2
PQ = ( x − x ) + ( y − y ) + ( z − z )
2 1 2
2 1 2
2 1 2
2 1 2
2 2 2 2 2 2
AB = ( −1− 7) + ( −2 − 3) + ( 3− 1) = 8 + 5 + 2 = 93
Følgende sætning og bevis skal sammenlignes med plangeometriens sætning 37.
Sætning 25 (FS)
Lad P = ( x1, y1, z1
)
være et punkt og α:ax + by + cz + d = 0
være en plan i rummet. Da er afstanden fra P til α givet ved
ax1 + by1 + cz1 + d
dist( P,
α ) =
2 2 2
a + b + c
Endvidere gælder, at
a) ax1 + by1 + cz1 + d > 0 ⇔ P ligger i det positive halvrum
b) ax1 + by1 + cz1 + d < 0 ⇔ P ligger i det negative halvrum
c) ax1 + by1 + cz1 + d > 0 ⇔ P ligger på α.