Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Dette udtryk indsættes i β's parameterfremstilling, hvorved skæringsliniens<br />
parameterfremstilling opnås:<br />
⎛ x⎞<br />
t t<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ y⎟<br />
t t<br />
t<br />
t<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ z⎠<br />
t t<br />
=<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟ + − ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
+<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝−<br />
⎠<br />
=<br />
⎛ + − + ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ + ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ + − − ⎠<br />
=<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
+<br />
1 2 1 1 6 2 7 ⎛ −1⎞<br />
⎜ ⎟<br />
1 ( 3 ) 0 2 1 2 1 ⎜ 2 ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
1 1 3 1 3 3 4 ⎝−4⎠<br />
Den bitre erfaring viser, at hvis begge planer er beskrevet ved en parameterfremstilling, så der<br />
det nemmest at omskrive den ene parameterfremstilling til en ligning, før man finder<br />
skæringslinien.<br />
For linier i rummet gælder følgende sætning:<br />
Sætning 22 (LS)<br />
To linier l og m i rummet er enten<br />
a) sammenfaldende,<br />
b) parallelle og ikke sammenfaldende,<br />
c) skærende, eller<br />
d) vindskæve.<br />
Bevis:<br />
At to linier er vindskæve betyder simpelthen, at de hverken er parallelle eller<br />
skærende - se figuren illustrerende tilfældene b), c) og d). Beviset for sætningen bliver<br />
med denne definition trivielt, idet tilfælde d) opfanger det, som ikke hører ind under a),<br />
b) eller c).<br />
b) c) d)<br />
parallelle linier skærende linier vindskæve linier<br />
Sætningen fortæller desværre ikke, hvorledes man undersøger to liniers beliggenhed i forhold<br />
til hinanden. Metoden er som følger:<br />
Man starter med at undersøge, om linierne er parallelle. Dette gøres ved at undersøge, om<br />
retningsvektorerne er parallelle.<br />
24