Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

More documents

Recommendations

Info

⎛ x⎞ ⎜ ⎟ l: ⎜ y⎟ t ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + 1 ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎝−1⎠ 37 og α:x + y + 5z = 0 . Vi starter med at bemærke, at l og α er parallelle - vi har nemlig, at ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ rl ⋅ n = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝− ⎠ ⋅ 1 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ α 2 ⎜2⎟ = 1+ 4 − 5 = 0 ⎜ ⎟ 1 ⎝5⎠ så liniens retningsvektor og planens normalvektor er orthogonale. Dette er heldigt, for hvis l og α ikke var parallelle, så ville de skære hinanden, og deres indbyrdes afstand ville være 0. Pga. denne parallelitet kan vi nøjes med at finde et enkelt punkt P på linien l og beregne dist( P, α) = dist( l, α) . Vi vælger punktet P = ( 1, 2, 3 ) , som opnås ved at sætte parameteren t lig 0, og får 1⋅ 1+ 1⋅ 2 + 5⋅ 3+ 0 18 6 dist( l, α) = dist( P, α) = = = = 2 3 2 2 2 1 + 1 + 5 27 3 Eksempel Planerne α og β, hvis ligninger er α:x + y + z = 0 og β:x + y + z + 3 = 0 er parallelle, idet de har den samme normalvektor. Dette er heldigt; thi var de ikke parallelle, så skar de hinanden, og deres indbyrdes afstand var 0. Som ovenfor vælger vi et tilfældigt punkt P beliggende i α, og for nemheds skyld vælger vi P = ( 0, 0, 0 ) . Vi får da 0⋅ 1+ 0⋅ 1+ 0⋅ 1+ 3 3 dist( α, β) = dist( P, β) = = = 2 2 2 1 + 1 + 1 3 Vi fortsætter vor Odyssé gennem afstandsformlernes rige: Bevis: Sætning 26 (FS) Afstanden mellem punktet P og linien l gennem punktet P 0 og retningsvektoren r er givet ved r × P P dist( P, l) = r → 0 3 .
Hvis punktet P ligger på linien l, så er afstanden 0. Det passer meget godt med, at i dette tilfælde er retningsvektoren → r parallel med P0 P 38 . Krydsproduktet mellem disse vektorer er da nulvektoren, og højresiden af afstandsformlen forsvinder. Hvis P ikke ligger på linien l, så udspænder P og l en plan. Betragter vi denne plan, så ser situationen således ud: P 0 v Q er projektionen af P på linien l, og vores afstand er dist( P, l) = PQ Retningsvektoren r placeres med halen i punktet P0 , og hovedet kaldes for R. Vinklen ∠PP0 R kaldes v. Vi beregner arealet T af trekanten PP0 R på to forskellige måder. For det første ses, at PQ er en højde for denne trekant, så den sædvanlige formel giver 1 1 1 T = ⋅ højde ⋅ grundlinie = P0 R ⋅ PQ = r ⋅ dist( P, l) 2 2 2 For det andet vides fra sætning 16, at T = r × P P → 1 0 2 hvilket tilsammen giver 1 1 r ⋅ P l = r × P0 P 2 2 → dist( , ) , eller ved omrokering af leddene r × P P dist( P, l) = r → 0 Reg<strong>net</strong> opgave Opgave: Beregn afstanden mellem punktet P = ( , , − ) → r parameterfremstillingen R Q P 13 2 og linien l med
Page 1 and 2: Matematikkens mysterier - på et h
Page 3 and 4: 4.1 Vektorer i rummet Vi vil nu gen
Page 5 and 6: z Kun punkt d) kræver noget særsk
Page 7 and 8: 1.3 For ethvert reelt tal t er vekt
Page 9 and 10: Definition 10 (FS) Lad a og b væ
Page 11 and 12: Regel 2) følger af højrehåndsreg
Page 13 and 14: Koordinaterne for a × b kan da f
Page 15 and 16: Vi afslutter med følgende sætning
Page 17 and 18: 4.3 Planer og linier Vi vil nu se,
Page 19 and 20: ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ s t ⎜
Page 21 and 22: Sætning 20 (FS) Linien med retning
Page 23 and 24: Eksempel som jo er forskellig fra n
Page 25 and 26: Dette udtryk indsættes i β's para
Page 27 and 28: ⎛4⎞ 0 5 4 2 6 8 ⎜ ⎟ ⎜5⎟
Page 29 and 30: Dette er altså stedvektoren til sk
Page 31 and 32: e) Ligger punktet D = ( 3, −1, 6
Page 33 and 34: 4.4 Dimensionsbegrebet I dette afsn
Page 35 and 36: 4.5 Afstandsbestemmelse i rummet Vi
Page 37: Eksempel → P P 0 n → P0 P⋅n
Page 41 and 42: Eksempel Vi betragter nu planen α,
Page 43 and 44: 5.1 Bestem afstandene a) AB b) AC c
Page 45 and 46: Projektionen af vektoren ⎛3⎞
Page 47 and 48: 4.7 Kugler Kuglen er et ganske velk
Page 49 and 50: 4.8 Opgaver 8.1 Ligger punkter A =
Page 51 and 52: (Der er faktisk mening i galskaben
Page 53 and 54: 1.1 a) ⎛ 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4 ⎟
Page 55 and 56: Sammenligning mellem plan- og rumge
Page 57: Planen med normalvektoren ⎛a⎞

Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?