Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

Eksempel
→
P P
0
n
→
P0 P⋅n
= n
2
n
og det ses, at projektionen er ensrettet med n , hvis og kun hvis størrelsen
→
P P⋅ n = ax + by + cz + d
0 1 1 1
er positiv, og at projektionen er modsat rettet n , hvis den samme størrelse er negativ.
Endelig fås for længden af projektionen
P P⋅n → 0
dist( P, α ) = P0 P
n = n =
2
n
→ →
36
P P⋅n 0
n
ax1 + by1 + cz1 + d
=
2 2 2
a + b + c
Lad planen α være givet ved ligningen 2x − y + z − 3 = 0 , og punkterne P,Q og R
være P = ( 1, 2, 3 ) , Q = ( 0, 01 , ) og R = ( 2, 0, 0 ) .
Vi har da, at
så P ligger i planen α,
2⋅1 −1⋅ 2 + 1⋅3 − 3 0
dist( P, α ) = = = 0,
2 2 2
2 + ( − 1) + 1 6
⋅ − ⋅ + ⋅ −
dist( Q, α ) = =
+ ( − ) +
− 2 0 1 0 1 1 3 2
=
2 2 2
2 1 1 6
og det ses, at Q ligger i planens negative halvrum, og
2⋅ 2 −1⋅ 0+ 1⋅0 − 3 1
dist( R, α ) = = =
2 2 2
2 + ( − 1) + 1 6
så R ligger i planens positive halvrum.
Specielt kan vi konkludere, at Q og R ligger på hver sin side af planen α.
Sætning 25 kan også bruges til at finde afstanden mellem en linie og en plan, og afstanden
mellem to planer - nemlig når planen og linien, eller de to planer, er parallelle.
Eksempel
Lad linien l og planen α være givet ved
2
6
1
6
,