Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

More documents

Recommendations

Info

2 2 2 ( x − 1) + ( y + 2) + ( z + 3) = 1+ 2 + 4 + 9 = 16 hvoraf det ses, at kuglens centrum er ( 1, − 2 , − 3) , og at radius er <strong>4.</strong> Opgave: En kugle er givet ved ligningen 2 2 2 x + y + z − 4z = 0 Bestem en ligning for tangentplanen til kuglen med røringspunktet P = ( 0, 0, 0 ) . Løsning: Vi ser hurtigt, at denne kugle har centrum C = ( 0, 0, 2 ) og radius 2. Tangentplanen, som rører kuglen i C, står vinkelret på 'radiusvektoren' PC → , som derfor er en normalvektor: PC → ⎛ − ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − ⎠ = 0 0 ⎛0⎞ ⎜ ⎟ 0 0 ⎜0⎟ ⎜ ⎟ 2 0 ⎝2⎠ Idet tangentplanen går gennem P = ( 0, 0, 0 ) , så bliver ligningen 0( x − 0) + 0( y − 0) + 2( z − 0) = 0 som kan omskrives til z = 0 Det ses, at denne tangentplan faktisk er xy-planen. Opgaver 7.1 Undersøg, om nedenstående ligninger faktisk beskriver en kugle. Hvis de gør, så angiv centrum og radius. a) 2 2 2 x + y + z − 2x + 4y −6z − 11= 0 2 2 2 b) x + y + z − 4x + 4z + 8 = 0 2 2 2 c) x + y + z −3x − 6y + 5x + 38 = 0 2 2 2 1 2 d) x + y + z − x + y − 3z + = 0 7.2 En kugle har centrum i punktet C = ( 1, − 3 , −2 ) og indeholder punktet P = ( 3, −1 , −1 ) a) Bestem en ligning for kuglen. b) Bestem en ligning for tangentplanen til kuglen med røringspunkt i P. 47
<strong>4.</strong>8 Opgaver 8.1 Ligger punkter A = ( 8, 2, −1 ) , B = ( 0, 0, 7 ) , C = ( 2, −12 , ) og D = ( 21 , , 4 ) i samme plan? 8.2 I rummet er planen α og linien l bestemt ved parameterfremstillingerne ⎛x⎞ ⎜ ⎟ α : ⎜ y⎟ s t ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + ⎛− ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝− ⎠ + 9 3 ⎛0⎞ ⎜ ⎟ 2 4 ⎜2⎟ ⎜ ⎟ 1 1 ⎝4⎠ og ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ l : ⎜ y⎟ t ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + 1 ⎛3⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎜2⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎝1⎠ a) Bestem en ligning for planen α. b) Bestem fællesmængden mellem α og l. c) Bestem en parameterfremstilling for projektionen af l på α. 8.3 En plan α er bestemt ved α : x − y − z + 3 = 0 a) Bestem koordinatsættet til projektionen af punktet A = ( 2 , 2 , − 4 ) på planen α. b) Bestem spejlbilledet af A under spejling i planen α. c) Bestem afstanden mellem A og α. 8.4 Lad en pyramide OABCD i rummet være givet - se figuren: O Det oplyses, at O = ( 0, 0, 0) højden af pyramiden er 12. A = ( 8, 0, 0) B = ( 8, 8, 0) C = ( 0, 8, 0 ) samt at a) Bestem koordinaterne til punktet D. b) Bestem vinklen mellem to af pyramidens sideflader. c) Bestem vinklen mellem en af pyramidens sideflader og dens grundflade. 8.5 En kugle i rummet har centrum i punktet C = ( 2 , −3 , 1 ) . Endvidere oplyses, det, at kuglen har planen α med ligningen C 48 D A B
Page 1 and 2: Matematikkens mysterier - på et h
Page 3 and 4: 4.1 Vektorer i rummet Vi vil nu gen
Page 5 and 6: z Kun punkt d) kræver noget særsk
Page 7 and 8: 1.3 For ethvert reelt tal t er vekt
Page 9 and 10: Definition 10 (FS) Lad a og b væ
Page 11 and 12: Regel 2) følger af højrehåndsreg
Page 13 and 14: Koordinaterne for a × b kan da f
Page 15 and 16: Vi afslutter med følgende sætning
Page 17 and 18: 4.3 Planer og linier Vi vil nu se,
Page 19 and 20: ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ s t ⎜
Page 21 and 22: Sætning 20 (FS) Linien med retning
Page 23 and 24: Eksempel som jo er forskellig fra n
Page 25 and 26: Dette udtryk indsættes i β's para
Page 27 and 28: ⎛4⎞ 0 5 4 2 6 8 ⎜ ⎟ ⎜5⎟
Page 29 and 30: Dette er altså stedvektoren til sk
Page 31 and 32: e) Ligger punktet D = ( 3, −1, 6
Page 33 and 34: 4.4 Dimensionsbegrebet I dette afsn
Page 35 and 36: 4.5 Afstandsbestemmelse i rummet Vi
Page 37 and 38: Eksempel → P P 0 n → P0 P⋅n
Page 39 and 40: Hvis punktet P ligger på linien l,
Page 41 and 42: Eksempel Vi betragter nu planen α,
Page 43 and 44: 5.1 Bestem afstandene a) AB b) AC c
Page 45 and 46: Projektionen af vektoren ⎛3⎞
Page 47: 4.7 Kugler Kuglen er et ganske velk
Page 51 and 52: (Der er faktisk mening i galskaben
Page 53 and 54: 1.1 a) ⎛ 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4 ⎟
Page 55 and 56: Sammenligning mellem plan- og rumge
Page 57: Planen med normalvektoren ⎛a⎞

Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?