Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

Projektionen af vektoren ⎛3⎞
⎜ ⎟
a = ⎜2⎟
⎜ ⎟
⎝6⎠
a a a
α = − n =
idet planen har normalvektoren ⎛1⎞
⎜ ⎟
n = ⎜1⎟
.
⎜ ⎟
⎝1⎠
på planen α:x + y + z = 0 er givet ved
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ − ⎜ ⎟
⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
−
3
1 3
3 1 2 1 6 1
2
1 2
2 2 2
1 1 1
6
1 6
44
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
1 ⎛−
11 ⎜
1 ⎜−
3
1
⎜
⎝
Bemærk, at det ikke kan betale sig at bruge formlen med det dobbelte krydsprodukt
- der bliver for mange regnerier!
Definition 30 (LS)
Projektionen P α af punktet P på planen α er defineret som
skæringspunktet mellem α og den linie, som står vinkelret på α og
som går gennem P.
Denne definition fortæller, hvorledes man i praksis finder projektionen af et punkt på en plan:
Eksempel
For at finde projektionen af P = ( 310 , , ) på planen α:x + y − z + 2 = 0 bemærker
vi først, at en normalvektor for α, og dermed en retningsvektor for linien gennem P
vinkelret på α er
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
n = ⎜ 1 ⎟
⎜ ⎟
⎝−1⎠
Denne linie har da parameterfremstillingen
⎛ x⎞
⎜ ⎟
⎜ y⎟
t
⎜ ⎟
⎝ z⎠
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+
3 ⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
1 ⎜ 1 ⎟
⎜ ⎟
0 ⎝−1⎠
og sættes dette ind i planens ligning, så fås
( 3+ t) + ( 1+ t) −( − 1) + 2 = 0 ⇔ t = − 7
2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
2
3
5
3
7
3