Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

More documents

Recommendations

Info

⎛− ⎞ → → → → → ⎜ ⎟ OD = OC+ CD = OC− AB = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝− ⎠ = 2 1 ⎛−3⎞ ⎜ ⎟ 3 2 ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ 1 5 ⎝ 6 ⎠ Vi kender da D's stedvektor, hvoraf kan aflæses, at D = ( −3, 1, 6 ) . → → For at finde arealet af ABCD, så finder vi AB AC af ABCD er da lig → → AB× AC = 10 + 15 + 8 = 389 Opgaver 2.1 Lad vektorerne a, b, c og d være givet ved a = ⎛−2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝−1⎠ b = ⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ 15 2 2 2 c = ⎛10⎞ ⎜ ⎟ × = ... = ⎜15⎟ , og arealet ⎜ ⎟ ⎝ 8 ⎠ ⎛−2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −1⎠ Bestem a) a × b b) a × c c) b × c d) a × ( b × c) e) ( a × b) × c f) a × ( b + c) g) arealet af parallelogrammet udspændt af b og d h) arealet af trekanten udspændt af c og d i) vinklen mellem a og b j) Er vektorerne a og d mon parallelle? og d = ⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎜4⎟ . ⎜ ⎟ ⎝5⎠
<strong>4.</strong>3 Planer og linier Vi vil nu se, hvorledes man kan beskrive planer og linier i rummet. Beskrivelserne vil på mange måder minde om beskrivelsen af linier indenfor plangeometrien. En måde at karakterisere en plan på er ved hjælp af en normalvektor. Betragt figuren ovenfor. Her er normalvektoren n en egentlig vektor, som står vinkelret på planen, og P 0 er et fast punkt i planen. Det ses, at punktet P ligger i planen, <strong>net</strong>op når → P P⊥n 0 Dette kan vi bruge til at finde en ligning for planen: Lader vi normalvektoren n have koordinaterne ⎛a⎞ ⎜ ⎟ n = ⎜b⎟ ⎜ ⎝c⎠ → n koordinaterne P0 = ( x0, y0 , z0) og P x y z 16 ⎟ og punkterne P 0 0 og P have ⎛ x − x0 ⎞ → ⎜ ⎟ = ( , , ) , så er P0 P = ⎜ y − y0⎟ . Betingelsen ⎜ ⎟ ⎝ z − z ⎠ n⊥ P P → 0 kan da omformuleres til → n ⋅ P0 P = 0, og indsættes ovenstående koordinater fås ligningen for en plan: Sætning 17 (FS) Erstatter vi tallet −ax0 −by0 − cz0 med tallet d i denne ligning, så fås en alternativ form for planens ligning: (18) ax + by + cz + d = 0. P 0 Planen med normalvektoren ⎛a⎞ ⎜ ⎟ n = ⎜b⎟ ⎜ ⎟ ⎝c⎠ punktet ( x0, y0, z0 ) , har ligningen P ( n ≠ 0 ) , og som indeholder a( x − x ) + b( y − y ) + c( z − z ) = 0 0 0 0
Page 1 and 2: Matematikkens mysterier - på et h
Page 3 and 4: 4.1 Vektorer i rummet Vi vil nu gen
Page 5 and 6: z Kun punkt d) kræver noget særsk
Page 7 and 8: 1.3 For ethvert reelt tal t er vekt
Page 9 and 10: Definition 10 (FS) Lad a og b væ
Page 11 and 12: Regel 2) følger af højrehåndsreg
Page 13 and 14: Koordinaterne for a × b kan da f
Page 15: Vi afslutter med følgende sætning
Page 19 and 20: ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ s t ⎜
Page 21 and 22: Sætning 20 (FS) Linien med retning
Page 23 and 24: Eksempel som jo er forskellig fra n
Page 25 and 26: Dette udtryk indsættes i β's para
Page 27 and 28: ⎛4⎞ 0 5 4 2 6 8 ⎜ ⎟ ⎜5⎟
Page 29 and 30: Dette er altså stedvektoren til sk
Page 31 and 32: e) Ligger punktet D = ( 3, −1, 6
Page 33 and 34: 4.4 Dimensionsbegrebet I dette afsn
Page 35 and 36: 4.5 Afstandsbestemmelse i rummet Vi
Page 37 and 38: Eksempel → P P 0 n → P0 P⋅n
Page 39 and 40: Hvis punktet P ligger på linien l,
Page 41 and 42: Eksempel Vi betragter nu planen α,
Page 43 and 44: 5.1 Bestem afstandene a) AB b) AC c
Page 45 and 46: Projektionen af vektoren ⎛3⎞
Page 47 and 48: 4.7 Kugler Kuglen er et ganske velk
Page 49 and 50: 4.8 Opgaver 8.1 Ligger punkter A =
Page 51 and 52: (Der er faktisk mening i galskaben
Page 53 and 54: 1.1 a) ⎛ 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4 ⎟
Page 55 and 56: Sammenligning mellem plan- og rumge
Page 57: Planen med normalvektoren ⎛a⎞

Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?