Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

(Der er faktisk mening i galskaben - alle led af formen a b c
i j k
forekommer, forudsat at i, j og k er forskellige indices. Fortegnet er
positivt, hvis rækkefælgen af de tre indices er 123, 231 eller 312, og
negativt hvis ikke. Ved de positive rækkefølger kommer tallene i den
rigtige rækkefølge, evt. blot ‘knækket’ over).
En vigtig huskeregel er
d) Vis, at
a b c
1 1 1
a b c
2 2 2
a b c
3 3 3
b2 c2
b1 c1
= a1 − a2 + a
b c b c
3 3
50
3 3
3
b c
b c
1 1
b c
2 2
2 2
Igen bemærker man, at f.eks. ved leddet a1 består den lille
b3 c3
determinant af den store determinant, hvor man dog har slettet den
søjle og den række, hvori tallet a1 står.
e) Vis nedenstående formel:
det( a, b, c) = det( b, c, a) = det( c, a, b)
=
− det( a, c, b) = − det( c, b, a) = −det(
b, a, c )
f) Vis, at
det( a, a, b ) = 0
det( a, b, sc + td) = sdet( a, b, c) + t det( a, b, d)
, for s, t ∈R.
g) Vis, at de tre vektorer a , b og c ligger i samme plan, hvis og kun
hvis det( a, b, c ) = 0.
(Vink:
c = sa + tb ).
8.8 a) Den geometriske betydning af 3x3-determinanten er:
Voluminet af det parallelepipedum, som udspændes af a , b og c , er
lig det( a, b, c ) - se figuren
→
c
→
b
→
Bevis dette - retningen af krydsproduktet a
a × b spiller en vis rolle.
b) Bestem voluminet af det parallelepipedum, der udspændes af
vektorerne