Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

Denne parameterværdi giver det punkt, hvor linien skærer planen, altså P α . Indsættes
denne i parameterfremstillingen fås
Pα = ( 3− 7 , 1−
7 , − ( − 7))
= ( − 1 , − 5 , 7)
2
2
Regnet opgave
Opgave: Find koordinaterne til spejlbilledet af punktet P = ( 0, 0, 0 ) spejlet i planen
α:2x + y − z + 3 = 0 .
Løsning: Linien gennem P og som står vinkelret på α har parameterfremstillingen
⎛ x⎞
⎜ ⎟
⎜ y⎟
t
⎜ ⎟
⎝ z⎠
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+
0 ⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟
0 ⎜ 1 ⎟
⎜ ⎟
0 ⎝−1⎠
45
2
Indsættes dette i α's ligning, så fås
2( 2t) + t − ( − t) + 3 = 0 ⇔ t = − 1
2
Linien går altså gennem P for t = 0, gennem α for t = − 1 2 og må da passere
gennem P's spejlbillede, når t = 2⋅ ( − 1)
= −1,
idet dette punkt har samme
afstand til α som P. Sættes t = −1 i parameterfremstillingen, så fås
spejlbilledets koordinater ( −2, −11
, ) .
Opgaver
6.1 Hvorfor må man ikke anvende sætning 29 til at finde projektionen af et punkt på en
plan?
6.2 Lad punktet P = ( 2, −4,
6 ) og planen α : x − 3y + 2z − 2 = 0 være givet.
a) Bestem projektionen af punktet P på planen α.
b) Bestem spejlbilledet af punktet P under spejlingen i planen α.
Lad endvidere linien l være givet ved parameterfremstillingen:
⎛ x⎞
⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
l : ⎜ y⎟
= ⎜−
⎟ t
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ z⎠
⎝ ⎠
+
3 ⎛0⎞
⎜ ⎟
4 ⎜9⎟
⎜ ⎟
1 ⎝3⎠
c) Bestem en parameterfremstilling for den linie, der opnås ved at projicere l ned
på planen α.
(Vink: Det nemmeste er at finde den linie, som går gennem projektionerne af
på punkter fra l).
2
2
2
2 .