Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

More documents

Recommendations

Info

i × ( j + k ) skal stå vinkelret på i , så i × ( j + k ) må være parallel med yz-planen. Men i × ( j + k ) skal også stå vinkelret på j + k , hvilket betyder, at i × ( j + k ) bliver parallel med − j + k . Højrehåndsreglen viser, at i × ( j + k ) faktisk er ensrettet med − j + k . Alt i alt ser vi, at længden og retningen af venstre- og højresiden er ens, hvilket betyder, at de to vektorer er ens. Vi er nu i stand til at lave en koordinatformel for krydsproduktet: Sætning 14 (FS) Lad ⎛a1⎞ ⎜ ⎟ a = ⎜a2⎟ og ⎜ ⎟ ⎝a ⎠ ⎛b1 ⎞ ⎜ ⎟ b = ⎜b2 ⎟ . Så er ⎜ ⎟ ⎝b ⎠ ⎛a2b3 − a3b2 ⎞ ⎜ ⎟ a × b = ⎜ a3b1 − a1b3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ a b − a b ⎠ Bevis: Beviset for denne formel er lige ud af landevejen - vi opskriver faktorernes koordinatfremstillinger og bruger sætning 12 og 13: a × b = ( a1i + a2 j + a3k ) × ( b1i + b2 j + b3 k ) = a1b1i × i + a2b1 j × i + a3b1k × i + a1b2i × j + a2b2 j × j + a3b2 k × j + a1b3i × k + a2b3 j × k + a3b3k × k = 0 + − a 2b1k + a3b1 j + a1b2 k + 0 + −a3b2 i + − a b j + a b i + 0 = 1 3 2 3 ( a b − a b ) i + ( a b − a b ) j + ( a b −a b ) k 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 Denne formel er ikke lige let at huske, så derfor anvender man i praksis følgende metode til udregning af krydsproduktet: Opskriv koordinaterne for a og b to gange hver på følgende måde: a a a a a a 1 2 3 1 2 3 b b b b b b 1 2 3 1 2 3 3 3 11 1 2 2 1
Koordinaterne for a × b kan da findes som determinanter i ovenstående skema: 1. koordinaten er hér: a a a a a a 1 2 3 1 2 3 b b b b b b 1 2 3 1 2 3 2. koordinaten er hér: a a a a a a 1 2 3 1 2 3 b b b b b b 1 2 3 1 2 3 og 3. koordinaten er hér: a a a a a a Eksempel 1 2 3 1 2 3 b b b b b b 1 2 3 1 2 3 Vi har, at x: y: z: 12 ( = a b −a b ) 2 3 3 2 ( = a b − a b ) 3 1 1 3 ( = a b −a b ) 1 2 2 1 . ⎛1⎞ 2 12 ⎜ ⎟ ⎜4⎟ 3 13 ⎜ ⎟ ⎝6⎠ 1 11 × ⎛− ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ⎛− ⎞ ⎜ ⎟ ⎜− ⎟ . Dette kan ses ved at betragte skemaerne: ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 4 6 1 4 6 −2 3 1 −2 3 1 1 4 6 1 4 6 −2 3 1 −2 3 1 1 4 6 1 4 6 −2 3 1 −2 3 1 4 6 ≅ = 4⋅1 − 3⋅ 6 = −12 3 1 ≅ 6 1 = 6⋅ ( −2) −1⋅ 1= −13 1 − 2 1 4 ≅ = 1⋅ 3− ( −2) ⋅ 4 = 11 −2 3 Eksempel Punkterne A = ( 1, 2, 3 ) , B = ( 4, 56 , ) og C = ( 012 , , ) ligger på samme rette linie - dette kan f.eks. ses ved at vise, at AB → og det ses, at AB → ⎛ − ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − ⎠ = 4 1 ⎛3⎞ ⎜ ⎟ 5 2 ⎜3⎟ ⎜ ⎟ 6 3 ⎝3⎠ → → AB× AC = 0 . og AC → Advarsel Krydsproduktet er ikke associativt, dvs. ligningen a × ( b × c) = ( a × b) × c normalt ikke gælder. Et eksempel herpå er er parallelle: og AC → ⎛ − ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − ⎠ = 0 1 ⎛−1⎞ ⎜ ⎟ 1 2 ⎜−1⎟ ⎜ ⎟ 2 3 ⎝−1⎠
Page 1 and 2: Matematikkens mysterier - på et h
Page 3 and 4: 4.1 Vektorer i rummet Vi vil nu gen
Page 5 and 6: z Kun punkt d) kræver noget særsk
Page 7 and 8: 1.3 For ethvert reelt tal t er vekt
Page 9 and 10: Definition 10 (FS) Lad a og b væ
Page 11: Regel 2) følger af højrehåndsreg
Page 15 and 16: Vi afslutter med følgende sætning
Page 17 and 18: 4.3 Planer og linier Vi vil nu se,
Page 19 and 20: ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ s t ⎜
Page 21 and 22: Sætning 20 (FS) Linien med retning
Page 23 and 24: Eksempel som jo er forskellig fra n
Page 25 and 26: Dette udtryk indsættes i β's para
Page 27 and 28: ⎛4⎞ 0 5 4 2 6 8 ⎜ ⎟ ⎜5⎟
Page 29 and 30: Dette er altså stedvektoren til sk
Page 31 and 32: e) Ligger punktet D = ( 3, −1, 6
Page 33 and 34: 4.4 Dimensionsbegrebet I dette afsn
Page 35 and 36: 4.5 Afstandsbestemmelse i rummet Vi
Page 37 and 38: Eksempel → P P 0 n → P0 P⋅n
Page 39 and 40: Hvis punktet P ligger på linien l,
Page 41 and 42: Eksempel Vi betragter nu planen α,
Page 43 and 44: 5.1 Bestem afstandene a) AB b) AC c
Page 45 and 46: Projektionen af vektoren ⎛3⎞
Page 47 and 48: 4.7 Kugler Kuglen er et ganske velk
Page 49 and 50: 4.8 Opgaver 8.1 Ligger punkter A =
Page 51 and 52: (Der er faktisk mening i galskaben
Page 53 and 54: 1.1 a) ⎛ 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4 ⎟
Page 55 and 56: Sammenligning mellem plan- og rumge
Page 57: Planen med normalvektoren ⎛a⎞

Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?