Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

Koordinaterne for
a × b kan da findes som determinanter i ovenstående skema:
1. koordinaten er hér:
a a a a a a
1 2 3 1 2 3
b b b b b b
1 2 3 1 2 3
2. koordinaten er hér:
a a a a a a
1 2 3 1 2 3
b b b b b b
1 2 3 1 2 3
og 3. koordinaten er hér:
a a a a a a
Eksempel
1 2 3 1 2 3
b b b b b b
1 2 3 1 2 3
Vi har, at
x:
y:
z:
12
( = a b −a
b )
2 3 3 2
( = a b − a b )
3 1 1 3
( = a b −a
b )
1 2 2 1 .
⎛1⎞
2 12
⎜ ⎟
⎜4⎟
3 13
⎜ ⎟
⎝6⎠
1 11
×
⎛−
⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
⎛−
⎞
⎜ ⎟
⎜−
⎟ . Dette kan ses ved at betragte skemaerne:
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 4 6 1 4 6
−2 3 1 −2
3 1
1 4 6 1 4 6
−2 3 1 −2
3 1
1 4 6 1 4 6
−2 3 1 −2
3 1
4 6
≅ = 4⋅1 − 3⋅ 6 = −12
3 1
≅
6 1
= 6⋅ ( −2) −1⋅ 1= −13
1 − 2
1 4
≅ = 1⋅ 3− ( −2) ⋅ 4 = 11
−2
3
Eksempel
Punkterne A = ( 1, 2, 3 ) , B = ( 4, 56 , ) og C = ( 012 , , ) ligger på samme rette linie -
dette kan f.eks. ses ved at vise, at AB
→
og det ses, at
AB
→
⎛ − ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ − ⎟
⎜ ⎟
⎝ − ⎠
=
4 1 ⎛3⎞
⎜ ⎟
5 2 ⎜3⎟
⎜ ⎟
6 3 ⎝3⎠
→ →
AB× AC = 0 .
og AC
→
Advarsel
Krydsproduktet er ikke associativt, dvs. ligningen
a × ( b × c) = ( a × b) × c
normalt ikke gælder. Et eksempel herpå er
er parallelle:
og AC
→
⎛ − ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ − ⎟
⎜ ⎟
⎝ − ⎠
=
0 1 ⎛−1⎞
⎜ ⎟
1 2 ⎜−1⎟
⎜ ⎟
2 3 ⎝−1⎠