Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

More documents

Recommendations

Info

⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ t ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + 4 ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ 1 ⎜ 5 ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎝−1⎠ Løsning: Vi starter lige på og hårdt: P0 = ( 41 ; ; 0) ⎛ 1− 4 ⎞ 3 → ⎜ ⎟ P0 P = ⎜ 3−1 ⎟ 2 ⎜ ⎟ ⎝−2 − 0⎠ 2 = ⎛− ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝− ⎠ ⎛−8⎞ → ⎜ ⎟ r × P0 P = ⎜ 9 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝21⎠ → 2 2 2 r × P P = ( − 8) + 9 + 21 = 441 0 dist( P, l) → r × P0 P 441 = = = r 35 Dette var egentligt slet ikke så slemt... Sætning 27 (FS) 39 2 2 2 r = 3 + 5 + ( − 1) = 35 Afstanden mellem de ikke-parallelle linier l 1 og l 2 , som har retningsvektorerne r 1 og r 2 , og som går gennem punkterne P 1 og P 2 , er givet ved Bevis: Bemærk, at hvis linierne er parallelle, så er vektoren n = 0, og formlen er ikke så meget værd. Vi behandler dette tilfælde senere. 63 5 n ⋅ P1 P2 dist( l1 , l2) = n → , hvor n = r × r α l m 1 2 . 1 l 2
Eksempel Vi betragter nu planen α, som indeholder l 1 , og som er parallel med l 2 . Denne plan kan f.eks. konstrueres ved at parallelforskyde linien l 2 , indtil den skærer l 1 . Den parallelforskudte linie kan passende kaldes m. En normalvektor for planen er <strong>net</strong>op n = r × r , og endvidere gælder pga. paralleliteten, at Som i sætning 25 har vi nu, at hvilket beviser sætningen. 40 1 2 dist( l , l ) = dist( α, l ) = dist( α , P ) . 1 2 2 2 → n ⋅ P P → dist( α, P2 ) = P1P2 n = n 1 2 Afstanden mellem linierne l og m givet ved ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ l: ⎜ y⎟ t ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ = ⎛3⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜5⎟ + ⎜−2⎟ og m: ⎜ y⎟ t ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝1⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ z⎠ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + 0 ⎛3⎞ ⎜ ⎟ 3 ⎜1⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎝1⎠ findes: ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ n = rl × rm = ⎜− ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ × ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 1 3 ⎛−3⎞ ⎜ ⎟ 2 1 ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ 1 1 ⎝ 7 ⎠ n = 2 2 2 ( − 3) + 2 + 7 = 62 → P P 1 2 ⎛0 − 3⎞ 3 ⎜ ⎟ = ⎜3 −5⎟ 2 ⎜ ⎟ ⎝1 −1⎠ 0 = ⎛− ⎞ ⎜ ⎟ ⎜− ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛− ⎞ ⎜ ⎟ n ⋅ P P = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⋅ 3 ⎛−3⎞ → ⎜ ⎟ 1 2 2 ⎜−2⎟ = ( −3)( − 3) + 2( − 2) + 7⋅ 0 = 5 ⎜ ⎟ 7 ⎝ 0 ⎠ dist( l, m) → n ⋅ P1 P2 = n = 5 62
Page 1 and 2: Matematikkens mysterier - på et h
Page 3 and 4: 4.1 Vektorer i rummet Vi vil nu gen
Page 5 and 6: z Kun punkt d) kræver noget særsk
Page 7 and 8: 1.3 For ethvert reelt tal t er vekt
Page 9 and 10: Definition 10 (FS) Lad a og b væ
Page 11 and 12: Regel 2) følger af højrehåndsreg
Page 13 and 14: Koordinaterne for a × b kan da f
Page 15 and 16: Vi afslutter med følgende sætning
Page 17 and 18: 4.3 Planer og linier Vi vil nu se,
Page 19 and 20: ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ s t ⎜
Page 21 and 22: Sætning 20 (FS) Linien med retning
Page 23 and 24: Eksempel som jo er forskellig fra n
Page 25 and 26: Dette udtryk indsættes i β's para
Page 27 and 28: ⎛4⎞ 0 5 4 2 6 8 ⎜ ⎟ ⎜5⎟
Page 29 and 30: Dette er altså stedvektoren til sk
Page 31 and 32: e) Ligger punktet D = ( 3, −1, 6
Page 33 and 34: 4.4 Dimensionsbegrebet I dette afsn
Page 35 and 36: 4.5 Afstandsbestemmelse i rummet Vi
Page 37 and 38: Eksempel → P P 0 n → P0 P⋅n
Page 39: Hvis punktet P ligger på linien l,
Page 43 and 44: 5.1 Bestem afstandene a) AB b) AC c
Page 45 and 46: Projektionen af vektoren ⎛3⎞
Page 47 and 48: 4.7 Kugler Kuglen er et ganske velk
Page 49 and 50: 4.8 Opgaver 8.1 Ligger punkter A =
Page 51 and 52: (Der er faktisk mening i galskaben
Page 53 and 54: 1.1 a) ⎛ 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4 ⎟
Page 55 and 56: Sammenligning mellem plan- og rumge
Page 57: Planen med normalvektoren ⎛a⎞

Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?