Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

More documents

Recommendations

Info

Vi har derfor ligningssystemet ⎛3⎞ 6 2 5 4 1 14 ⎜ ⎟ ⎜2⎟ 4 1 6 5 3 21 0 ⎜ ⎟ ⎝1⎠ 5 3 4 2 6 0 × ⎛− ⎞ ⎜ ⎟ ⎜− ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ⎛ ⋅ − − ⋅ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⋅ − − ⋅ ⎟ = ⎜− ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⋅ − − − ⋅ ⎠ ⎝ ⎠ ≠ ( ) ( ) ( ) ( ) ⎧ 5+ 3t = 8− 6s ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ 6 + 2t = 8− 4s ⎬ ⎪ ⎩− 4 + t = − 10+ 5s⎪ ⎭ 27 ⇔ ⎧ 6s + 3t = 3 ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ 4s + 2t = 2 ⎬ ⎪ ⎩− 5s + t = −6⎪ ⎭ Vi løser de to første ligninger og bruger den tredie som kontrol: ⎧6s + 3t = 3⎫ ⎨ ⎬ ⎩4s + 2t = 2⎭ 6 3 D = = 6⋅ 2 −4 ⋅ 3= 12 − 12 = 0 4 2 UPS - determinanten blev jo nul! Tjah - det kunne man jo have sagt sig selv - denne determinant er jo krydsproduktets z-koordinat, og denne er jo nul. Så i stedet for at vælge de to første ligninger vælger vi f.eks. første og tredie ligning - deres determinant er krydsproduktets y-koordinat (pånær fortegn), og denne y-koordinat er jo ikke nul: ⎧ 6s + 3t = 3 ⎫ ⎨ ⎬ ⎩− 5s + t = −6⎭ 6 3 3 3 D = = 21 Ds = = 21 −5 1 −6 1 6 3 Dt = = −21 −5 − 6 s Ds 21 Dt = = = 1 t = = D 21 D −21 = −1 21 Indsættes dette i den sidste ligning fås 4s + 2t = 2 ⇒ 4⋅ 1+ 2⋅ ( − 1) = 2 ⇔ 2 = 2 og dette er jo et sandt udsagn. Linierne skærer altså hinanden. For at finde skæringspunktet indsættes enten s = 1 eller t = −1 i en af parameterfremstillingerne. Vi vælger at indsætte s = 1: ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ = ⎛ ⎞ ⎛− ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⋅⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝− ⎠ ⎝ ⎠ = 8 6 ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ 8 1 4 ⎜ 4 ⎟ ⎜ ⎟ 10 5 ⎝−5⎠
Dette er altså stedvektoren til skæringspunktet, som derfor har koordinaterne ( 2, 4, − 5) Endelig gælder der følgende sætning om skæringen mellem en linie og en plan: α Sætning 23 (LS) Lad α være en plan og l være en linie i rummet. Da gælder enten a) α og l skærer hinanden i et punkt, eller b) l er indeholdt i α, eller c) α og l er parallelle og har ingen punkter tilfælles. Bevis: Lad α have ligningen ax + by + cz + d = 0 og lad l have parameterfremstillingen ⎛ x⎞ x r ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ y t r ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ z r = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + 0 ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ 0 ⎜ 2⎟ . ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0 3 Ved indsættelse af parameterudtrykkene for x, y og z i ligningen for α fås følgende udtryk: som kan omskrives til l l α a) b) c) a( x + tr ) + b( y + tr ) + c( z + tr ) + d = , 0 1 0 2 0 3 0 t( ar + br + cr ) = − ( ax + by + cz + d) . 1 2 3 0 0 0 Idet vi kalder α's normalvektor for n og l's retningsvektor for r , kan vi skrive dette som t( n ⋅ r ) = − ( ax + by + cz + d) 0 0 0 28 l α
Page 1 and 2: Matematikkens mysterier - på et h
Page 3 and 4: 4.1 Vektorer i rummet Vi vil nu gen
Page 5 and 6: z Kun punkt d) kræver noget særsk
Page 7 and 8: 1.3 For ethvert reelt tal t er vekt
Page 9 and 10: Definition 10 (FS) Lad a og b væ
Page 11 and 12: Regel 2) følger af højrehåndsreg
Page 13 and 14: Koordinaterne for a × b kan da f
Page 15 and 16: Vi afslutter med følgende sætning
Page 17 and 18: 4.3 Planer og linier Vi vil nu se,
Page 19 and 20: ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ s t ⎜
Page 21 and 22: Sætning 20 (FS) Linien med retning
Page 23 and 24: Eksempel som jo er forskellig fra n
Page 25 and 26: Dette udtryk indsættes i β's para
Page 27: ⎛4⎞ 0 5 4 2 6 8 ⎜ ⎟ ⎜5⎟
Page 31 and 32: e) Ligger punktet D = ( 3, −1, 6
Page 33 and 34: 4.4 Dimensionsbegrebet I dette afsn
Page 35 and 36: 4.5 Afstandsbestemmelse i rummet Vi
Page 37 and 38: Eksempel → P P 0 n → P0 P⋅n
Page 39 and 40: Hvis punktet P ligger på linien l,
Page 41 and 42: Eksempel Vi betragter nu planen α,
Page 43 and 44: 5.1 Bestem afstandene a) AB b) AC c
Page 45 and 46: Projektionen af vektoren ⎛3⎞
Page 47 and 48: 4.7 Kugler Kuglen er et ganske velk
Page 49 and 50: 4.8 Opgaver 8.1 Ligger punkter A =
Page 51 and 52: (Der er faktisk mening i galskaben
Page 53 and 54: 1.1 a) ⎛ 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4 ⎟
Page 55 and 56: Sammenligning mellem plan- og rumge
Page 57: Planen med normalvektoren ⎛a⎞

Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?