Matematikkens mysterier 4. Rumgeometri - KennethHansen.net

4.1 Vektorer i rummet
Vi vil nu generalisere plangeometriens vektorer til rumgeometrien (eller stereometrien). De
fleste af definitionerne og sætningerne i dette afsnit ligner plangeometriens resultater til
forveksling, og der udelades derfor mange detaljer.
For det første har vi brug for et koordinatsystem i rummet. Dette er ganske simpelt at lave:
Man tager et sædvanligt koordinatsystem i planen og sætter en tredie akse - z-aksen - på.
Denne skal stå vinkelret på de to andre akser, og dette gøres i praksis ved, at z-aksen står
vinkelret på den plan, x- og y-akserne danner.
Vi skal vælge z-aksens retning. Man plejer at vælge denne retning, således at man får et
højreskruet system:
Holdes højre hånd således, at omløbsretningen, dvs. retningen fra x- til y-aksen, følger
med de fire fingre, så skal z-aksen pege i tommelfingerens
retning.
z
x
En rumvektor er en pil i rummet. Alle de sædvanlige operation, addition, subtraktion og
skalarmultiplikation, er defineret på samme måde som i plangeometrien. Nedenstående regler
bevises ganske som i det plane tilfælde:
Sætning 1
Lad
a , b og c være vektorer i rummet, og lad s og t være skalarer.
Da gælder, at
a) a + b = b + a
b) a + ( b + c) = ( a + b) + c
c) a + 0 = 0 + a = a d) t( a + b) = ta + tb
e) ( s + t) a = sa + ta f) ( st ) a = s( ta) = t( sa)
g) 0a = 0
h) ( − 1) a = −a
i) a + b ≤ a + b
j) a − b ≤ a +
b
2
y