Neuronale Netze - D. Kriesel

Wir erinnern uns an die Lernvorschrift für SOMs
∆ck = η(t) · h(i, k, t) · (p − ck)
und arbeiten die drei Faktoren von hinten nach vorne ab:
Lernrichtung: Wir erinnern uns, dass die Neuronenzentren ck Vektoren im Eingangsraum
sind, genau wie das Muster p. Der Faktor (p − ck) gibt uns also den Vektor
vom Neuron k zum Muster p an. Dieser wird nun mit verschiedenen Skalaren
multipliziert:
Unsere Topologiefunktion h besagt, dass nur das Gewinnerneuron und seine beiden
nächsten Nachbarn (hier: 2 und 4) lernen dürfen, indem sie bei allen anderen
Neuronen 0 ausgibt. Eine Zeitabhängigkeit ist nicht gegeben. Unser Vektor (p −
ck) wird also entweder mit 1 oder mit 0 multipliziert.
Die Lernrate gibt, wie immer, die Stärke des Lernens an. Es gilt wie schon gesagt η =
0.5 – wir kommen also insgesamt auf das Ergebnis, dass sich das Gewinnerneuron
und seine Nachbarn (hier: Die Neurone 2, 3 und 4) dem Muster p um die Hälfte
des Weges nähern (dies markieren die Pfeile in der Abbildung).
Obwohl das Zentrum von Neuron 7 vom Eingangsraum aus gesehen wesentlich näher
am Eingangsmuster p liegt als das Neuron 2, lernt das Neuron 2, und das Neuron 7 nicht.
Ich möchte daran noch einmal deutlich machen, dass die Netztopologie bestimmt,
welches Neuron mitlernen darf, und nicht die Lage im Eingangsraum. Dies ist genau der
Mechanismus, durch den eine Topologie einen Eingangsraum aussagekräftig abdecken
kann, ohne mit ihm auf irgendeine Weise verwandt sein zu müssen.
Nach der Adaption der Neurone 2, 3 und 4 wird das nächste Muster angelegt, und so
weiter, und so fort. Ein weiteres Beispiel, wie sich eine solche eindimensionale SOM
im zweidimensionalen Inputraum bei gleichverteilten Inputmustern über die Zeit entwickeln
kann, sehen wir an der Abbildung 10.5 auf Seite 193.
Endzustände von ein- und zweidimensionalen SOMs bei verschieden geformten Inputräumen
sehen wir in der Abbildung 10.6 auf Seite 194. Wie wir sehen, sind nicht alle
Inputräume durch jede Netztopologie schön abdeckbar, es gibt sogenannte freiliegende
Neurone – Neurone, welche in einem Bereich liegen, in dem kein Inputmuster je aufgetreten
ist. Eine eindimensionale Topologie produziert in der Regel weniger freiliegende
Neurone als eine zweidimensionale: Beispielsweise beim Training auf ringförmig angeordnete
Eingabemuster ist es bei einer zweidimensionalen quadratischen Topologie so
gut wie unmöglich, die freiliegenden Neurone in der Mitte des Rings zu verhindern – diese
werden ja während des Trainings in jede Richtung gezogen, so dass sie schlussendlich
einfach in der Mitte bleiben. Das macht die eindimensionale Topologie aber keineswegs