3. Dynamische Verfahren 3.1 Vorbemerkungen 3.1.1 Gemeinsame ...

Prof. Dr. Stefan Kronenberger 3.1 Wirtschaftlichkeitsrechnung 

3. Dynamische Verfahren 

Gliederung 


3.1 Vorbemerkungen 

3.1.1 Gemeinsame Merkmale 

3.1.2 Finanzmathematische Grundlagen 

3.1.3 Übungsbeispiele 

3.2 Kapitalwertmethode 

3.2.1 Definition und Ermittlung des Kapitalwertes 

3.2.2 Interpretation und Würdigung 

3.3 Annuitätenmethode 

3.3.1 Definition und Ermittlung der äquivalenten Annuität 

3.3.2 Interpretation und Würdigung 

3.4 Interne-Zinsfuß-Methode 

3.4.1 Definition und Berechnung des internen Zinsfußes 


3.5 Dynamische Amortisationsrechnung 

3.5.1 Definition und Berechnung der Amortisationsdauer 


3.6 Einfluss der Steuern in der Investitionsrechnung 

3.7 Grundsätzliche Probleme 

3.7.1 Optimale Nutzungsdauer und optimaler Ersatzzeitpunkt 

3.7.2 Finanzierungsannahmen 

3.7.3 Zurechenbarkeit der Ein- und Auszahlungen 

3.7.4 Angemessener Kalkulationszinssatz 

MBA Unternehmensführung im Wohlfahrtsbereich






3.1.1 Gemeinsame Merkmale 

Das Bestreben der Investitionstheorie geht dahin, möglichst viele 

Prämissen der statischen Verfahren abzubauen, um eine größere 

Isomorphie (Gleichgestaltigkeit) zwischen Modell und Realität 

herzustellen. 

Die dynamischen Verfahren rechnen mit Ein- und Auszahlungen. Eine 

exakte Erfassung und Darstellung der täglichen Zahlungsströme würde 

aber zu kaum überschaubaren Zahlungsreihen führen. Es ist daher üblich 

folgende Vereinfachungen vorzunehmen: 

• Der Planungszeitraum wird in Perioden (Jahr, Monat, Woche) 

zerlegt. 

• Zahlungen werden so behandelt, als ob sie am Periodenende 

anfallen würden, es sei denn es ist ausdrücklich anders vermerkt. 

Zinsen werden demzufolge ebenfalls erst zum Ende einer Periode 

berücksichtigt („nachschüssige“ Verzinsung). 

• Der Anschaffungswert (A 0 ) einer Maßnahme wird auf den Beginn 

der ersten Periode bezogen. 

• Einzahlungen werden durch positive, Auszahlungen durch negative 

Werte dargestellt. 

Anwendungsbeispiel 3.1: 

Die Pacht für einen Tennisplatz soll während der Saison (16.04. – 15.10.) 

6.000,- € betragen, zahlbar am 15.04. Ein Sportgeschäft rechnet damit, dass 

durch Vermietung des Platzes pro Tag 50,- € Einzahlungen zu erzielen sind. 

Für die Pflege des Platzes fallen pro Tag 5,- € Auszahlungen an. Gesucht ist 

die Zahlenreihe, die das Projekt „Pachtung des Tennisplatzes“ abbildet. 





• Wollte man die täglichen Zahlungen abbilden, würde man 184 

Zahlungszeitpunkte benötigen. 

• Teilt man den Planungszeitraum in 6 Perioden zu 30 bzw. 31 

Tagen, wobei jeweils der 15. des Monats Zahlungszeitpunkt 

sein soll, ergibt sich folgende Zahlungsreihe: 

15.04. 15.05. 15.06. 15.07. 15.08. 15.09. 15.10. 

t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 

-6.000,- +1.500,- +1.550,- +1.500,- +1.550,- +1.550,- +1.500,- 

-150,- -155,- -150,- -155,- -155,- -150.- 

• Eine noch stärkere Abstraktion bedeutet, den gesamten 

Planungszeitraum von 6 Monaten als eine Periode betrachtet: 

15.04. 15.10 

t 0 t 1 

-6.000,- +9.150,- 

-915,- 

Das Grundproblem aller Investitionsrechenverfahren ist, die zu 

verschiedenen Zeitpunkten anfallenden Zahlungen vergleichbar zu 

machen. Dynamische Verfahren erreichen dies, indem sie alle Ein- und 

Auszahlungen auf einen Bezugszeitpunkt aufzinsen, sofern sie vor dem 

Bezugszeitpunkt anfallen oder abzinsen, sofern sie erst nach dem 

Bezugszeitpunkte anfallen. 

Die Höhe des Kalkulationszinssatzes „i“, mit dem die Zahlungen aufoder 

abgezinst werden, kann nicht allgemeingültig für alle 

Entscheidungsträger angegeben werden. Im folgenden wird unterstellt, 

dass ein einheitlicher Marktzins existiert, zu dem beliebige Beträge 

angelegt oder aufgenommen werden können. 





3.1.2 Finanzmathematische Grundlagen 

• Aufzinsungsfaktor (Bezugszeitpunkt sei der Endtermin) 

Die Zeitwerte werden durch Aufzinsung auf den in der Zukunft 

liegender Termin umgerechnet. 

Beginn der 

Maßnahme 

--Aufzinsen-- 

Bezugszeitpunkt 

= Endtermin 

0 1 2 3 4 Perioden 

Als Ergebnis erhält man Endwerte, d.h. Werte von Zahlungen, die auf 

den Endtermin einer Maßnahme bezogen sind. 

Endwert = Zeitwert ∗ Aufzinsungsfaktor 


- zweijährige Festgeldanlage von € 5.000,- 

- Zinssatz 7 vH 

- der Anleger will wissen, über welchen Betrag er am Ende der 

Laufzeit verfügen kann 

Ende 1. Jahr: 5.000,- + 5.000,- ∗ 0,07 = 5.000,- ∗ (1+0,07) = 5.350,- 

Ende 2. Jahr: 5.350,- + 5.350,- ∗ 0,07 = 

5.350,- * (1+0,07) = 

5.000,- * (1+0,07) (1+0,07) = 5.000,- ∗ (1+0,07) 2 =5.724,50 

Allgemein gilt: K o ...Kapital zum Zeitpunkt 0 (Beginn der Laufzeit) 

K n ...Kapital zum Zeitpunkt n (nach n- Jahren) 

i......Zinssatz in Dezimalstellen 

K n = K 0 * (1+i) n 

Der Aufzinsungsfaktor (1+i) n kann in finanzmathematischen 

Tabellen abgelesen werden. 





• Abzinsungsfaktor (Bezugszeitpunkt sei der Maßnahmebeginn) 

Die Ein- und Auszahlungen fallen nach dem Bezugszeitpunkt an. 

Sie müssen durch Abzinsung umgerechnet werden. 

Bezugszeitpunkt 

= Maßnahmenbeginn 

--Abzinsen-- 

Endtermin 

0 1 2 3 4 Perioden 

Als Ergebnis der Abzinsung gelangt man zu Barwerten (Gegenwartswerten), 

die man durch Multiplikation des Zeitwertes mit dem 

entsprechenden Abzinsungsfaktor erhält. 


Barwert = Zeitwert ∗ Abzinsungsfaktor 

- ein Anleger benötigt in zwei Jahren € 10.000,- 

- er will wissen wie viel Geld er heute bei 

einer Verzinsung von 7 vH anlegen muss 

Es gilt: 

K 

n 

n 

−n 

n = K 0 ⋅ (1 + i) ⇒ K 0 = = K 

n n ⋅ (1 + i) 

K 

(1 + i) 

Für n = 2, K 2 = 10.000,- € und i = 0,07 ergibt sich dann: 

K 

10.000 

= 

(1 + 0,07) 

10.000 

= 

1,1449 

0 = 

2 

8.734,39€ 





• Rentenbarwertfaktor (RBF) 

Fällt eine begrenzte Reihe von Rückflüssen am Ende mehrere 

Jahre in gleicher Höhe an, so wird ihr Gegenwartswert (Barwert) 

durch Multiplikation mit dem Rentenbarwertfaktor ermittelt. 


Der Barwert folgender nachschüssiger Zahlungen in € soll zu 

einem Kalkulationszinssatz von 10% für 4 Jahre ermittelt werden. 

Jahr Zeitwert Abzinsungsfaktor Barwert 

1 10.000,- 0,90909 9.090,90 

2 10.000,- 0,82645 8.264,50 

3 10.000,- 0,75131 7.513,10 

4 10.000,- 0,68301 6.830,10 

Summe der Barwerte 31.698,60 

∑ Barwerte = 10.000,- * (0,90909 + 0,82645 +0,75131 +0,68301) 

= 10.000,- * (3,16986) = 31.698,60 

= 

10.000, 

− ⋅ 

(10%) 

RBF (4) 

Der RBF kann finanzmathematischen Tabellen entnommen werden 

oder über folgende Formel, deren Herleitung über eine 

geometrische Reihe erfolgt, errechnet werden: 

RBF 

(i) 

(n) 

n 

(1 + i) 

= 

(1 + i) 

n 

− 1 

⋅ i 





• Rentenendwertfaktor (REF) und Rentenendwert (R n ) 

Werden jährlich gleichbleibende Renten nachschüssig angelegt, so 

gibt der Rentenendwert den gesamten Kapitalbestand einschließlich 

der Zinseszinsen am Ende der Laufzeit an. 


Der Endwert fünf nachschüssiger Zahlungen von 10.000,- € soll zu einem 

Kalkulationszinssatz von 10% ermittelt werden. 

Jahr Zeitwert Aufzinsungsfaktor Endwert 

1 10.000,- (1+0,1) 4 = 1,4641 14.641,- 

2 10.000,- (1+0,1) 3 = 1,331 13.310,- 

3 10.000,- (1+0,1) 2 = 1,21 12.100,- 

4 10.000,- (1+0,1) 1 = 1,1 11.000,- 

5 10.000,- (1+0,1) 0 = 1,0 10.000,- 

Summe der Endwerte (Rentenendwert) 61.051,- 

Rentenendwert = 10.000,- * (1,1 4 + 1,1 3 + 1,1 2 +1,1 1 + 1,1 0 ) 

= 10.000,- * (1,4641 + 1,331 + 1,21 + 1,1 + 1) 

= 10.000,- * (6,1051) = 61.051,- 

R 

(10%) 

5 

= 10.000 ⋅ REF (5) 

Der REF kann finanzmathematischen Tabellen entnommen werden 

oder über folgende Formel errechnet werden: 

REF 

(i) 

(n) 

(1 + i) 

= 

i 

Der R n ergibt sich dementsprechend: 

R 

(i) 

(n) 

n 

n 

− 1 

(1 + i) −1 

= E ⋅ 

mit E = jährl. nachschüssige Einzahlung 

i 





• Rentenbarwert (R 0 ) 

Es stellt sich die Frage, wie viel Kapital jemand zum Zeitpunkt 

t = 0 besitzen muss, wenn er an einen Dritten n-Jahre lang eine 

nachschüssige Rente in Höhe von E zahlen will und das jeweilige 

Restkapital zum Zinssatz i verzinst wird. 

Aus der Zinseszinsrechnung wissen wir: 

Es gilt also: 

n 

n = K 0 ⋅ (1 i) 

K + 

n 

n R 0 ⋅ (1 i) 

R = + oder 

R 

n 

(1 + i) 

= E ⋅ 

i 

n 

(1 + i) − 1 

n 

⋅ = R 0 ⋅ (1 i) | (1+i) n 

i 

n 

(1 + i) −1 

E ⋅ 

n 

i (1 + i) − 1 1 

R 0 = 

= E ⋅ ⋅ 

n 

n 

E + 

⇒ 

(1 + i) 

n 

(1 + i) − 1 

R 0 = E ⋅ = E ⋅ RBF 

n 

i ⋅ (1 + i) 

(i) 

(n) 

i 

(1 + i) 

n 

− 1 


Ein Vater möchte bei einem Kalkulationszinssatz von 10% seinem 

Sohn Johannes 10.000,-€ jährlich für fünf Jahre zahlen, wie hoch 

muss das anfängliche Rentenkapital sein. 

5 

(1,1) − 1 

R 0 = 10.000, − ⋅ = 10.000, − ⋅ 3,790787 = 37.907,87€ 

5 

0,1 ⋅ (1,1) 

Die Lösung ergibt sich auch als Umkehrung der Fragestellung in 

Anwendungsbeispiel 3.5. 





• Wiedergewinnungsfaktor (Annuitätenfaktor, ANNF) 

Die Verteilung eines heute zur Verfügung stehenden Betrages zu 

gleichen Teilen über eine Anzahl von Jahren unter 

Berücksichtigung der Zinseszinsen wird durch die Multiplikation 

mit dem Annuitätenfaktor (ANNF), der die Umkehrung des 

Rentenbarwertfaktors (vgl. Anw.bsp.4.4) darstellt, ermöglicht. 


Der Betrag von 31.698,70 € soll so zerlegt werden, dass er bei 

Zugrundelegung eines Kalkulationszinssatzes von 10% vier Jahre 

lang eine gleich hohe Rente ermöglicht. 

Es gilt: ANNF = 1/RBF 

E = R 

0 

0,1 ⋅ (1,1) 

= 31.698,70 ⋅ = 31.698,70 ⋅ 0,315471 

4 

(1,1) − 1 

= 10.000,- 

(1 + i) 

⋅ = R 

n 

(1 + i) − 1 

i 

n 

4 

0 

n 

i ⋅ (1 + i) 

⋅ 

n 

(1 + i) − 1 

1 

(10%) 

RBF (4) 

Der ANNF kann finanzmathematischen Tabellen entnommen 

werden oder über folgende Formel errechnet werden: 

(i) (1 + i) ⋅ i 

ANNF 

(n) 

= = 

n 

(1 + i) − 1 

n 

1 

RBF 

(i) 

(n) 





• Unterjährige Verzinsung 

Bisher sind wir von vorgegebenen Periodenzins und Periodenlänge 

ausgegangen. Je nach Fragestellung ist es zweckmäßig 

unterschiedliche Zeiträume als Periodenlängen zu definieren: 

- bei Sachinvestitionen wählt man üblicherweise ein Jahr; 

- bei bestimmten Finanzanlagen und bei den meisten Krediten 

erfolgt jedoch die Zinsberechnung und –kapitalisierung in kürzeren 

Zeitabständen (unterjährige Zinsberechnung). 

Die Verkürzung des Zinsabrechnungszeitraumes führt bei nominell 

konstantem Zins zu einer Erhöhung der Zinswirkung, da der 

Zinseszinseffekt während der Anlagedauer häufiger auftritt. 


Eine Festgeldanlage von 100,-€ erbringe 8% Nominalverzinsung p.a. 

- Jährliche Zinskapitalisierung: 

K 1 = 108,- 

- Halbjährliche Zinskapitalisierung: 

Ende 1.Hj. K 1/2 = 104,- 

Ende 2. Hj. K 1 = 108,16 

Der effektive Jahreszins beträgt 8,16% 

- Vierteljährliche Zinskapitalisierung 

Ende des 1. Quartals 100,00 + (100,00*0,08*0,25) = 102,00 


Ende des 3. Quartals 104,04 + (104,04*0,08*0,25) = 106,12 


Wir erhalten einen effektiven Jahreszins von 8,24% 





- Monatliche Zinskapitalisierung: 

Ende 1. Monat 100,67 


Ende 3. Monat 102,02 










Der effektive Jahreszins beträgt in diesem Fall 8,30%. 

Die Auswirkung unterjähriger Zinskapitalisierung kann mit 

folgender Formel allgemein dargestellt werden, mit „m“ als 

Anzahl der unterjährigen Zinskapitalisierungsperioden. 

i n⋅m 

K n = K 0 ⋅ (1 + ) 

m 

Beispiele: 

• i=0,08; n=1; m=4; K 0 =100,-€ 

0,08 1⋅ 

4 

4 

K1 = 100, − ⋅ (1 + ) = 100, − ⋅ (1,02) = 108,24 € 

4 

• i=0,08; n=1; m=12; K 0 =100,-€ 

0,08 112 ⋅ 

12 

K1 = 100, − ⋅ (1 + ) = 100, − ⋅ (1,0066667) = 108,30 € 

12 





3.1.3 Übungsbeispiele 

Übungsbeispiel 3.1: 

Christian legt ein Kapital von 15.000,-€ für fünf Jahre zu 

5%p.a. an. Wie hoch ist sein Endkapital 

a) bei einfacher Verzinsung (jährl. Entnahme der Zinsen), 

b) bei Zinseszins? 


Gabriele legt ein Kapital von 8.000,- € mit 5,75% p.a. 

Zinseszins an. Wie groß ist ihr Kapital 

a) nach drei Jahren, 

b) nach drei Jahren und drei Monaten? 


Wie viel muss Joseph heute anlegen, wenn er bei 6%p.a. 

Zinseszins in acht Jahren über 1.000,-€ verfügen will? 


Klaus möchte wissen, zu welchem Zinssatz er € 10.000,- 

anlegen muss, damit er in 7 Jahren den doppelten Betrag 

besitzt? 


Hans erhält von der Bank 4%p.a. Zinsen. Er hat € 9.000,- und 

spart für ein Auto, das seiner Vorstellung nach 10.000,- € 

kosten soll. Wie lange muss er noch sparen? 






Elke hat 4.000,- € und bekommt einen Zinssatz von 1,875% 

je Quartal geboten. Wie groß ist ihr Kapital nach 4 Jahren 

und 10 Monaten bei Zinseszins? 


Sabine will wissen, wie viel Geld sie nach 20 Jahren besitzt, 

wenn sie nachschüssig jährlich 1.000,- € einzahlt und der 

Zinssatz 5%p.a. beträgt. 


Marion braucht für die Finanzierung ihres Studiums die 

Unterstützung ihrer Eltern. Ihr soll vier Jahre lang 

nachschüssig eine jährliche Zuwendung von 6.000,- € gezahlt 

werden. Wie viel Kapital müssen Marions Eltern zu Beginn 

des ersten Studienjahres bereitstellen, wenn der jährliche Zins 

5% beträgt? 


Sebastian möchte wissen, wie oft er nachschüssig jährlich 

500,- € einzahlen muss, damit er bei einem Zinssatz von 4% 

auf ein Endkapital von 3.949,15 € kommt. 


Michael besitzt ein Kapital von 30.000,- €. Seine Bank 

verzinst das Kapital mit 1% je Quartal. Er will an sich selbst 

eine dreijährige gleichbleibende nachschüssige Rente aus 

diesem Vermögen zahlen. Wie hoch ist diese? 




Lernziele 

Lernziele 

Das primäre Lernziel des Abschnittes besteht darin, die Eigenschaften 

der Kapitalwertmethode und der Internen-Zinsfuß-Methode als 

zentrale Verfahren im Zusammenhang mit finanzwirtschaftlichen 

Entscheidungen aufzuzeigen. Es wird gezeigt, dass Entscheidungen 

auf der Basis der Internen Zinsfußregel nur dann zielkonform sind, 

wenn die Entscheidungssituation einfach und das betrachtete 

Investitionsprojekt eine einfache Zahlenstruktur aufweist. 

Annuitätenmethode und Dynamische Amortisationsrechnung 

runden die Verfahrensdarstellungen ab. Weiter wird die Bedeutung 

der Steuern als Einflussgröße bei der Beurteilung 

finanzwirtschaftlicher Entscheidungen skizziert. 

Grundannahmen: 

(A1) Investoren und Financiers sind „gierig“, d.h. ihre 

Konsumpräferenzen werden durch monoton ansteigende 

Konsumnutzenfunktionen charakterisiert und haben keine 

nichtfinanziellen Ziele. 

(A2) Investitions- und Finanzierungsprojekte lassen sich durch 

Zahlungsreihen hinreichend kennzeichnen. Zur 

Vereinfachung der formalen Handhabung fallen diese 

annahmegemäß zu diskreten, äquidistanten Zeitpunkten an. 

(A3) Es herrschen sichere Erwartungen über die mit Investitionen 

und Finanzierungen verbundenen zukünftigen Zahlungen. 

(A4) Es gibt einen vollkommenen Kapitalmarkt, d.h. es existieren 

keine institutionellen Beschränkungen und es fallen zunächst 

weder Transaktionskosten noch Steuern an. 

(A5) Wir gehen i.d.R. von einer „flachen“ Zinsstruktur aus, d.h. 

der Zinssatz „i“ gilt über die gesamte Laufzeit des Projektes. 






3.2.1 Definition und Ermittlung des Kapitalwertes 

Unter dem Kapitalwert (besser: Kapitalgegenwartswert – net 

present value; im Ggs. zu Kapitalendwert – net final value) einer 

Investitions- oder Finanzierungsmaßnahme wird derjenige Betrag 

verstanden, der sich ergibt, wenn man alle Ein- und Auszahlungen 

mit einem vorgegebenen Kalkulationszins auf den Zeitpunkt t 0 

abzinst. 

Kapitalwert = Saldo der Barwerte aller Zahlungen von t 0 bis t n 

C 

0 

= 

n 

∑ 

t= 

0 

(E 

t 

− A 

t 

1 

) ⋅ 

(1 + i) 

t 

oder 

C 

0 

= 

n 

∑ 

t= 

0 

R 

t 

(1 + i) 

t 

oder 

C 

0 

= −A 

0 

+ 

n 

∑ 

t= 

1 

R 

t 

(1 + i) 

t 

+ 

RW 

(1 + i) 

t 

Ertragswert = Saldo der Barwerte aller Zahlungen von t 1 bis t n 

Ertragswert und Kapitalwert unterscheiden bei gegebenem 

Kalkulationszinssatz immer genau um den Betrag der Anfangsausoder 

-einzahlung in t 0 . 






Die Zahlungsreihe eines Investitionsprojektes in € soll zu 

einem Zinssatz von 10% abgezinst werden: 

Periode 

t n 

Zahlungsreihe 

= Zeitwert 

Abzinsungsfaktor 

(1+0,1) -n 

Barwert 

t 0 -250 1,0 -250 

t 1 +100 0,90909 90,91 

t 2 +100 0,82645 82,65 

t 3 +100 0,75131 75,13 

Kapitalwert (C 0 ) -1,31 


Der Unternehmer X will eine Maschine erwerben, die im 

Zeitpunkt t = 0 eine Auszahlung von 201,81 € erfordert. Er 

geht von einer Nutzungsdauer von 3 Jahren aus, wobei 

jeweils am Ende der einzelnen Jahre folgende Beträge 

zurückfließen sollen: 

t 1 50,- t 2 100,- t 3 120,- 

Der Kalkulationszins sei 10%. 






Bei der Kapitalwertmethode wird die Zahlungsreihe eines Projektes 

an einer Alternativinvestition (auch Nullalternative genannt) 

gemessen, die sich zum Kalkulationszinssatz verzinst. 

• Ist der Kapitalwert positiv (C 0 >0), so ist die Verzinsung des 

jeweils gebundenen Kapitals höher als der Kalkulationszinssatz, 

und das Projekt ist damit vorteilhaft. 

• Ein positiver Kapitalwert zeigt analog zur 

Gewinnvergleichsrechnung den Gewinn einer Investition auf, wobei 

es sich im Gegensatz zur statischen Rechnung um den Barwert des 

Gewinns handelt. 

• Ein positiver Kapitalwert eines Projektes zeigt, wie viel 

Geldeinheiten, bezogen auf den Zeitpunkt t = 0, der Investor über 

die Tilgung des eingesetzten Kapitals und die Verzinsung des in jeder 

Periode gebundenen Kapitals hinaus erwirtschaftet. 

• Ein positiver Kapitalwert kann folglich vom Investor bereits zum 

Planungszeitpunkt zu Konsumzwecken entnommen werden ohne 

die Verzinsung des gebundenen Kapitals und die Rückzahlung des 

eingesetzten Kapitals zu gefährden. 

• Ein positiver Kapitalwert stellt eine entsprechende 

Vermögensmehrung dar. 






Ein Projekt werde durch folgende Zahlungsreihe charakterisiert: 

t E t A t R t 

0 -100 -100 

1 50 50 

2 50 50 

3 50 50 

Der Kalkulationszinsfuß betrage 10%. 

C 0 = -100 + 45,45+ 41,32 + 37,57 = 24,34 

Zur Durchführung der Investition kann man im Zeitpunkt t 0 einen 

Kredit zum Zinssatz von 10% i.H.v. 124,34 aufnehmen. Der 

folgende Tilgungsplan zeigt, dass die Einzahlungen der Investition 

gerade ausreichen, den Kredit nebst Zinsen zu tilgen: 

Periode R t Kredit 

+ Zinsen 

Kreditrückzahlung 

Restschuld 

0 -100 124,34 124,34 

1 50 136,77 -50 86,77 

2 50 95,45 -50 45,45 

3 50 50,00 -50 0 

Ende der 1.Periode: 124,34*(1+0,1) = 136,77 –50 = 86,77 

Ende der 2.Periode: 86,77*(1,1) = 95,45 – 50 = 45,45 

Ende der 3.Periode: 45,45*1,1 = 50 – 50 = 0 

Da A 0 für das Projekt nur 100 GE beträgt, resultiert aus der 

Durchführung der Investition eine Vermögensmehrung von 24,34 

GE im Zeitpunkt t 0 . 





Anwendungsbeispiel 3.11 (vgl. Anw.bsp. 3.9): 

Periode 

t n 

Zahlungsreihe Zinsen Veränd. der 

Kapitalbindung 

Restkapitalbindung 

t 0 -250 - - -250 

t 1 +100 -25 +75 -175 

t 2 +100 -17,5 +82,5 -92,5 

t 3 +100 -9,25 +90,75 -1,75 

1 

Es gilt: − 1 ,75 ⋅ = −1,31 

= C 

3 

0 

(1 + 01) 

Der Kapitalwert entspricht genau dem Betrag, den der Investor im 

Planungszeitpunkt als Einzahlungsüberschuss oder 

Einzahlungsdefizit im Vergleich zur Alternativinvestition realisiert. 

Welche Kredithöhe könnte das obige Projekt zu 10% bedienen? 

→ Abhängigkeit des Kapitalwertes vom Kalkulationszinssatz 

Der Kapitalwert einer Zahlungsreihe stellt eine Funktion des 

Kalkulationszinssatzes dar: 

C 

o 

(i) = 

n 

∑ 

(E 

− A 

) ⋅ 

1 

t t 

t= 0 (1 + 

1 

• Die Größe wird mit zunehmendem i, bei gleichbleibendem 

n kleiner, was bedeutet, dass die so ermittelten 

n 

(1 + i) 

Barwerte unter sonst gleichen Bedingungen kleiner werden 

• Je höher der Zinssatz, um so größer ist der aus einer Anlage am 

Kapitalmarkt resultierende Zinsgewinn, weshalb man für einen 

bestimmten Kapitalendwert entsprechend weniger heute 

bereitstellen muss. 

i) 

t 






Periode Zahlungsreihe 

t 0 -250 

t 1 +100 

t 2 +100 

t 3 +100 

0% 2,5% 5% 7,5% 10% 12,5% 

0 -250 -250 -250 -250 -250 -250 

1 +100 +97,56 +95,24 +93,02 +90,91 +88,89 

2 +100 +95,18 +90,70 +86,53 +82,65 +79,01 

3 +100 +92,86 +86,38 +80,50 +73,13 +70,23 

C 0 +50 +35,60 +22,32 +10,05 -1,31 -11,87 

Die Kapitalwertfunktion hat folgenden Eigenschaften: 

• Bei einem Zinssatz von i = 0 entspricht der Kapitalwert einer 

Investition der Summe der Einzahlungsüberschüsse. 

• Strebt der Zinssatz gegen unendlich, so konvergiert die 

Kapitalwertfunktion gegen den Anschaffungswert. 

• Die Kapitalwertfunktion einer Normalinvestition ist für 

nichtnegative Zinssätze monoton fallend und konvex. 









Relative Vorteilhaftigkeitsentscheidungen auf der Basis der 

Kapitalwertmethode 

Die Entscheidungsregel zum relativen Vorteilhaftigkeitsvergleich 

lautet: Es ist stets das Projekt mit dem maximalen Kapitalwert 

auszuwählen. 


Für zwei sich ausschließende Investitionsalternativen seien folgende Zahlungsreihen gegeben: 

t 0 t 1 t 2 t 3 

I) -100 +60 +40 +20 

II) -100 +30 +50 +60 

Ermitteln Sie die Kapitalwerte für unterschiedliche Kalkulationszinssätze 0%, 5%, 10%, 15% und 

20%. 

ACHTUNG: 

Die Anwendung der Kapitalwertmethode wirft neue Probleme auf, 

falls sich die Investitionsalternativen bezüglich Kapitaleinsatz, 

Lebensdauer oder Struktur der Rückflüsse unterscheiden. 






Projekt I und II stehen mit folgenden Daten in € zur Wahl: 

t 0 t 1 t 2 

I) -200 0 +242,55 

II) -100 +126 


C 

(I) 

0 

= −200 

+ 

242,55 

(1 + 0,05) 

2 

= 20 

C 

(II) 

0 

= −100 

+ 

126 

(1 + 0,05) 

= 20 

Nach der Kapitalwertmethode würden beide Projekte gleichwertig 

eingestuft. Da aber offensichtlich € 200,- zur Verfügung stehen, 

können bei Projekt II) zusätzlich 100,- € investiert werden. 

Investitionen, die zur Vergleichbarkeit von Alternativen hinsichtlich 

Lebensdauer, Struktur der Rückflüsse und Kapitaleinsatz 

vorzunehmen sind, werden Differenz- oder Komplementärinvestition 

genannt. Mit ihrer Hilfe werden die Zahlungsüberschüsse 

von zwei Investitionsobjekten in allen Zeitpunkten außer dem 

Endzeitpunkt des längeren Projektes einander angeglichen. 





Hierzu gibt es grundsätzlich zwei Möglichkeiten: 

1) Vollständiger Vorteilsvergleich 

Der Betrag von 100 € wird zu einer zweiten Anlage vom Typ II) 

verwendet, was die Einzahlung in t 1 auf 252,- € zur Folge hat. Es ist 

offensichtlich, dass unter diesen Umständen Projekt II) vorzuziehen 

ist. 

2) Begrenzter Vorteilsvergleich 

Da die Ermittlung aller realen Komplementärinvestitionen mit 

Schwierigkeiten verbunden sein kann, wird oft der vereinfachte, 

begrenzte Vorteilsvergleich durchgeführt, der unterstellt, dass sich 

notwendige Komplementärinvestitionen zum 

Kalkulationszinsfuß verzinsen. Damit ergibt sich ein C 0 = 0 für 

die jeweilige Komplementärinvestition, was wiederum eine 

Vernachlässigung bei der Ermittlung erlaubt. 

Anwendungsbeispiel 3.14(vgl.Anw.bsp. 3.13): 

Zahlungsreihe der erweiterten Alternative II): 

Auszahlungen 

Einzahlungen 

Anschaffung II) -100 

Kompl.inv. zum 

Kalk.zins 

t 0 t 1 t 2 

-100 -231 

Inv.obj. II 0 +126 

Kompl.inv. zum 

Kalk.zins 

0 +105 +242,55 

E t - A t -200 0 +242,55 

Es gilt: 231*(1+0,05)= 242,55 

Beide Projekte haben denselben Kapitalendwert. 





Anwendungsbeispiel 3.15 (vgl. auch Üb.bsp. 3.12): 

t 0 t 1 t 2 t 3 

I) -201,81 +50 +100 +120 

II) -100 +70 +56,65 

Unter Verwendung des Kalkulationszinses von 10% ergibt sich: 

Projekt I) t 0 t 1 t 2 t 3 

E t - A t -201,81 +50 +100 +120 

Diff.inv. -50 +60,50 

Diff.inv. -100 +110 

∑ -201,81 0 0 +290,50 

Projekt II) t 0 t 1 t 2 t 3 

E t - A t -100 +70 +56,65 

Diff.inv. -70 +84,70 

Diff.inv. -56,65 +62,32 

Diff.inv. -101,81 +135,51 

∑ 201,81 0 0 +282,53 

Es gilt: 50*1,1 2 = 60,5 und 100*1,1 =110 

101,81*1,1 3 =135,51 und 70*1,1 2 =84,70 und 56,65*1,1 = 62,32 

Der Kapitalendwert von Projekt I) ist höher als der von II), so dass 

Maßnahme I) vorzuziehen ist. Wie hoch ist der Kapitalwert 

beider Maßnahmen? 


Prof. Dr. Stefan Kronenberger 3.26 Wirtschaftlichkeistrechnung 




3.3.1 Definition und Berechnung der äquivalenten Annuität 

Unter einer Annuität (Rente im finanzmathematischen Sinn) versteht 

man Zahlungen in konstanter Höhe (uniform), die in zeitlich 

gleichem Abstand (äquidistant) über eine bestimmte Laufzeit zu 

Beginn (vorschüssige Rente) oder am Ende (nachschüssige Rente) 

einer Periode erfolgen. Die nachschüssige Rente eines 

Investitionsprojektes wird äquivalente Annuität genannt, weil der 

Barwert der neuen Zahlungsreihe dem Barwert der gegebenen 

entspricht. Die Annuitätenmethode kann als eine spezielle 

Umformung bzw. Variante der Kapitalwertmethode betrachtet 

werden. 

Die Ermittlung der Annuität erfolgt durch Multiplikation des 

Kapitalwertes mit dem Annuitätenfaktor. Sie setzt also die Kenntnis 

des Kapitalwertes voraus. 

ANN = C 

0 

⋅ ANNF 

(i) 

(n) 

= C 

0 

1 

⋅ 

RBF 

(i) 

(n) 





Anwendungsbeispiel 3.16 (vgl. Üb.bsp. 3.12 u. Anw.bsp.3.15): 

Der Unternehmer X will eine Maschine erwerben, die im Zeitpunkt t = 0 

eine Auszahlung von 201,81 € erfordert. Er geht von einer Nutzungsdauer 

von 3 Jahren aus, wobei jeweils am Ende der einzelnen Jahre folgende 

Beträge zurückfließen sollen: 

t 1 50,- t 2 100,- t 3 120,- 


(0,1) 

(3) 

C0 = 16,44 ⇒ ANN = 16,44 ⋅ ANNF = 16,44 ⋅ 0,40211 = 6,61 

a) geb. 

Kapital 

b) Zinsen 

bei i=0,1 

c)Tilgung d)Annuität 

R t 

(b+c+d) 

t 1 201,810 20,181 23,209 6,61 50 

t 2 178,601 17,860 75,530 6,61 100 

t 3 103,071 10,307 103,071 6,61 120 





3.3.2 Interpretation und Würdigung 

→ Beurteilung eines einzelnen Investitionsprojektes 

Bei der Beurteilung eines Einzelprojektes ist die Verwendung der 

Annuitätenmethode völlig unproblematisch und gelangt zum 

gleichen Ergebnis wie die Kapitalwertregel, da sich beide 

Verfahren rechentechnisch entsprechen: 

• Wenn ANN>0, dann C 0 >0: vorteilhaft 

• Wenn ANN=0, dann C 0 =0: indifferent 

• Wenn ANN





Die sich ausschließenden Projekte I), II) und III) seien durch folgende Annuitätenreihe 

gekennzeichnet. Der Kalkulationszins sei 10%. 

t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 

I) 0 10 10 10 10 

II) 0 8 8 8 8 8 

III) 0 9 9 9 9 9 

Es gilt: 

- Pr ojekt III) vor Pr ojekt II) , wegen der höheren Annuität bei gleicher 

Laufzeit 

- ojekt I) vor Projekt II), da ∑ ANN (I) ∑ 

Pr > ANN(II) und bei Projekt I) 

der gleiche Betrag früher zur Verfügung steht. 

- Die Vorteilhaftigkeitsentscheidung bezieht sich also nur noch auf 

die Projekte I) und III), deren Annuitäten allerdings 

unterschiedliche Laufzeiten aufweisen. 

Ermittlung der Kapitalwert der beiden Projekte: 

1 

Allgemein gilt: ANN = C ⋅ ⇒ C 0 = ANN 

RBF 

(I) 

C = 10 ⋅ 3,16987 = 31,6987 

C 

0 

(III) 

0 

0 ⋅ 

= 9 ⋅ 3,79079 = 34,1171 

RBF 

Umformung der Annuität von I) zu 5-Jahren Laufzeit: 

(I) 

5) 

(I) 

(0,1) 

ANN 

( 

= C0 

⋅ ANNF(5) 

= 31,6987 ⋅ 0,2638 = 8,36 

Der Vergleich der äquivalenten Annuitäten zeigt die Vorteilhaftigkeit des 

Projektes III) gegenüber Projekt I). 




Übungsaufgaben 

Übung 3.1: 

Die Issfrisch OHG in der Gemeinde Schabbach versorgt derzeit ihre Kunden in der 

90 km entfernten Großstadt durch zweimalige wöchentliche Belieferung. Hierfür 

fallen Auszahlungen von € 1,60/km bei einer durchschnittlichen Tourenstrecke pro 

Belieferung von 300 km an. Außerdem entstehen pro Lieferfahrt (mit jeweils 3- 

tägiger Dauer) durch die wirtschaftlich zweckmäßige Übernachtung des Fahrers 

Auszahlungen in Höhe von € 100,- für Übernachtung und Verpflegung. Die 

Belieferung erfolgt 50 Wochen im Jahr. 

Alternativ bietet sich nun für die Issfrisch OHG die Errichtung einer Niederlassung 

in der Großstadt an. Hierfür fiele eine Anschaffungsauszahlung für die Errichtung 

in Höhe von € 105.000,- und laufende jährliche Auszahlungen von € 15.000,- pro 

Jahr (50 Wochen/Jahr). Die zusätzlich anfallenden Auszahlungen pro Lieferfahrt, 

mit dann nur noch eintägiger Dauer, könnten somit auf 200,. € reduziert werden. 

Allerdings wäre eine wöchentliche Belieferung der Niederlassung von Schabbach 

aus notwendig. Aufgrund einer Anfrage bei einer Spedition wird hierfür mit 

laufenden Auszahlungen von € 250,- pro Woche kalkuliert (50 Wochen/Jahr). 

Die größere Nähe zum Absatzmarkt lässt höhere Kundeneinzahlungen erwarten. 

Anstelle jährlicher Einzahlungen von € 130.000,- und einem erwarteten jährlichen 

Zuwachs von 5% (ab Ende des nächsten Jahres), werden bei Errichtung der 

Niederlassung pro Jahr € 140.000,- und eine 7%ige Steigerung erwartet. 

Beurteilen Sie das vorgestellte Investitionsvorhaben der Issfrisch OHG anhand der 

Kapitalwertmethode. Gehen Sie dabei von jährlich nachschüssigen Zahlungen, 

einem Betrachtungszeitraum von 6 Jahren und einem Kalkulationszinssatz von 

10% aus. 


Ein netter Mensch will Ihnen helfen, Ihr Studium zu finanzieren und bietet Ihnen 

folgende Unterstützung an: 

Entweder zahlt er Ihnen ab dem übernächsten Jahr drei Jahre lang nachschüssig € 

4.000,- oder er gibt Ihnen bereits am Ende diesen Jahres € 10.000,-. Welche 

Alternative ist Ihnen unter Zugrundelegung des Einkommenmaximierungsziels 

lieber, wenn Sie mit einem Kalkulationszinsfuß von 5% bzw. 10% rechnen? 






3.4.1 Definition und Berechnung des internen Zinsfußes 

Der interne Zinsfuß (Rendite, Effektivzins) einer Investition ist 

derjenige Zinsfuß r, bei dessen Verwendung als Kalkulationszins 

(Kapitalisierungszinsfuß) der Kapitalwert dieser Investition null ist: 

C 

0 

(r) = 

n 

∑ 

t= 

0 

R 

t 

(1 + r) 

t 

= 0 

bzw. 

C 

0 

(r) = −A 

0 

+ 

n 

∑ 

t= 

1 

R 

t 

(1 + r) 

t 

+ 

RW 

(1 + r) 

n 

= 0 

Der interne Zinsfuß 

• kann als kritischer Kapitalisierungszinsfuß aufgefasst werden 

und er 

• entspricht der Effektivverzinsung des jeweils gebundenen 

Kapitals. 

Je mehr Nutzungsperioden das Projekt umfasst, desto komplexer wird 

das mathematische Problem der Nullstellen-analyse eines Polynom 

n-ten Grades. Zur Lösung des mathematischen Problems kann die 

sog. „regula-falsi-Methode“ herangezogen werden, die auf einer 

linearen Interpolation beruht. 

Wir suchen uns zwei Zinssätze, wobei für den ersten C 01 > 0 und für 

den zweiten C o 2 < 0 gelten soll. Dann approximieren wir die Nullstelle 

der Kapitalwertfunktion durch eine lineare Beziehung zwischen C 01 

undC 02 mit Hilfe des Strahlensatzes. 






Gesucht ist der Interne Zinsfuß der durch folgende Zahlungsreihe 

gekennzeichnet Investition: 

t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 

I) -5.000 +2.000 +2.000 +2.000 +2.000 

Es gilt: C 0, 

15 

0 = + 710 

C 

0,20 

0 

= + 177 

C 

0,22 

0 

= −13 

Die von uns zunächst ausgewählten Zinssätze lauten: 

i 1 = 0,2 mit C o1 =+177 und i 2 =0,22 mit C o2 = -13 





Es gilt weiter: 

r = 0,20 + x 

und 

AB 

x 

= 

AC 

CD 

oder x = 

AB⋅ 

CD 

AC 

mit AB = C01 = 177 und 

AC 01 02 = 

= C + C = 177 + 13 190 und 

CD = 0,02 

177 ⋅ 0,02 

⇒ x = = 0,0186 

190 

und 

r = 0,20 + 0,0186 = 0,2186 (21,86%) 

Der Kapitalwert für i=0,2186 beträgt 0,2, was bedeutet, dass der 

interne Zinsfuß knapp oberhalb von 21,86% liegt. 

Zur Bestimmung des internen Zinsfußes kann man auch folgende 

aus den oben angestellten Überlegungen abgeleitet Formel 

verwenden: 

C 

01 

r - i 

1 

C 

= 

i 

01 

2 

− C 

− i 

1 

02 

oder 

C 

C 

o1 

01 

− 0 

− C 

02 

r − i1 

= 

i − i 

2 

1 

⇒ 

r = i 

1 

+ C 

01 

C 

i 

2 

01 

− i 

1 

− C 

02 

oder 

r = i 

1 

− C 

01 

C 

i 

2 

02 

− i 

1 

− C 

01 





Übungsbeispiel 3.14 (vgl. Üb.bsp. 3.12): 

Der Unternehmer X will eine Maschine erwerben, die im Zeitpunkt t 

= 0 eine Auszahlung von 201,81 € erfordert. Er geht von einer 

Nutzungsdauer von 3 Jahren aus, wobei jeweils am Ende der 

einzelnen Jahre folgende Beträge zurückfließen sollen: 

t 1 50,- 

t 2 100,- 

t 3 120,- 

Zeigen Sie, dass der Fehler der linearen Interpolation größer ist, je 

größer das Interpolationsintervall ist. Gehen Sie zunächst von den 

Kalkulationszinssätzen 10% und 20% und dann von den Sätzen 13% 

und 15% aus. 





3.4.2 Interpretation und kritische Würdigung 

Der interne Zinsfuß gibt die Verzinsung des jeweils gebundenen 

Kapitals an. 


Eine normale Investition mit der Zahlungsreihe 

{ − 100; + 50; + 50; 50} 

R t = 

+ 

besitzt einen internen Zinsfuß von r = 23,37%. Wenn man zur 

Durchführung dieser Investition einen Kredit in Höhe von 100 GE 

zum Zinsfuß r=0,2337 aufnimmt, und diesen in drei Raten zu je 50 

GE tilgt, verbleibt nach drei Jahren keine Restschuld. Dies zeigt 

folgender Tilgungsplan: 

Periode R t Kredit 

+ Zinsen 

Kreditrückzahlung 

Restschuld 

0 -100 100 100 

1 50 123,37 -50 73,37 

2 50 90,51 -50 40,51 

3 50 50 -50 0 

Es gilt: 100 * 1,2337 = 123,37 

73,37 * 1,2337 = 90,51 

40,51 * 1,2337 = 50 






Stellen Sie für das in Übungsbeispiel 3.14 dargestellte 

Projekt analog zum Anwendungsbeispiel 3.19 einen 

Tilgungsplan auf. 

→ Beurteilung eines Einzelprojektes 

Zur Prüfung der absoluten Vorteilhaftigkeit von Investitions- oder 

Finanzierungsmaßnahmen ist der Vergleich des internen 

Zinsfußes mit einer geforderten Mindestverzinsung (bei Anlagen) 

oder einer gerade noch tolerierten Höchstver-zinsung (bei 

Krediten) erforderlich. 

Für die Beurteilung einer Investition gilt: 

• r>i: vorteilhaft 

• r=i: indifferent 

• r




→ Vergleich sich ausschließender Alternativen 

Bei oberflächlicher Betrachtung erscheint es zunächst logisch, 

dass die Alternative mit der höheren Rendite auch stets die 

vorteilhaftere ist. Dabei wird aber übersehen, dass die Renditen 

lediglich Relationen zwischen Einzahlungs-überschüssen eines 

Projektes und dessen Kapitalbindung darstellen. 

Wenn sich Laufzeiten unterscheiden bzw. die Anschaffungsauszahlungen 

divergieren, könnte man auf die Idee kommen, wie 

bei der Kapitalwertmethode Differenzinvesti-tionen 

vorzunehmen, wobei man sie hier zum internen Zinsfuß verzinst 

(bei Kapitalwertmethode zum Kalkulationszinssatz). 

Anwendungsbeispiel 3.20 (vgl. Anw.bsp. 3.15)): 

t 0 t 1 t 2 t 3 

I) -201,81 +50 +100 +120 

II) -100 +70 +56,65 

Unter Verwendung des Kalkulationszinses von 10% ergibt sich: 

I) 

II) 

C0 = 16,44 und C0 

= 10,45 

Die Kapitalwertregel empfiehlt also die Durchführung von 

Projekt I). 





Als interne Verzinsung erhalten wir: 

r I) = 0,14 (vgl. Üb.bsp.3.14) und r II) = 0,18 

Die folgende Darstellung zeigt, dass der Kapitalendwert des 

Projektes II) jetzt höher ist als der von Projekt I). Die 

Entscheidung aus der Kapitalwertregel wird umgedreht: 

Projekt I) t 0 t 1 t 2 t 3 

E t - A t -201,81 +50 +100 +120 

Diff.inv. -50 +64,98 

Diff.inv. -100 +114 

∑ -201,81 0 0 +290,50 

Es gilt: 50*1,14 2 = 64,98 und 100*1,14 =114 

Projekt II) t 0 t 1 t 2 t 3 

E t - A t -100 +70 +56,65 

Diff.inv. -70 +97,47 

Diff.inv. -56,65 +66,85 

Diff.inv. -101,81 +167,28 

∑ 201,81 0 0 +331,60 

Es gilt: 101,81*1,18 3 =167,27 und 70*1,18 2 =97,47 und 56,65*1,18 = 66,85 





Die mögliche Inkonsistenz rührt daher, dass die Kapitalwert-regel 

und die Interne-Zinsfuß-Regel unterschiedliche Annahmen über die 

Verzinsung der Differenzinvestitionen beinhalten. Dies ist 

insbesondere dann problematisch, falls mehrere sich gegenseitig 

ausschließende Alternativen zur Auswahl stehen. 

Die Kapitalwertregel ist der Internen-Zinsfuß-Regel vorzuziehen, 

weil die Interne-Zinsfuß-Regel eine logische Inkonsistenz aufweist, 

denn bei n Investitionsalternativen gibt es gleichzeitig n 

unterschiedliche Annahmen über die Höhe der Verzinsung der 

Differenzinvestitionen. 

Die Stelle, an der die Kapitalwertfunktionen sich kreuzen (sog. 

Fisher-rate) ist der problematische Punkt beim Vergleich der 

Entscheidungsregeln liegt: 

Die Interne-Zinsfuß-Methode weist insbesondere folgende 

Probleme auf: 

• Es ist immer ein zusätzlicher Vergleichsmaßstab in Form des 

Kalkulationszinssatzes nötig. 

• Die Möglichkeit mehrere Lösungen (mehrere Nullstellen) kann 

zu unbrauchbaren Ergebnissen führen. 

• Die Annahme, dass Differenzinvestitionen zu dem jeweiligen 

internen Zinsen verzinst werden ist willkürlich. 






Wenden Sie bei den unten stehenden Projekten die Kapitalwert-, 

Annuitäten- und Interne-Zinsfuß-Methode zur 

Vorteilhaftigkeitsentscheidung an: 

t 0 t 1 t 2 t 3 

I) -201,81 +50 +100 +120 

II) -100 +70 +56,65 

III) -100 +45 +45 +45 


Prof. Dr. Stefan Kronenberger 3.41 Wirtschaftlichkeistrechnungen 




Die Dynamische Amortisationsrechnung (Pay-Off-Methode, Pay- 

Out-Methode, Wiedergewinnungsrechnung) geht von 

Sicherheitserwägungen aus des Entscheidungsträgers aus. Dem 

Verfahren liegt die einfache Überlegung zugrunde: Je schneller das 

investierte Kapital zurückfließt, um so früher kann der Investor auf 

Datenänderungen des ökonomischen Umfeldes reagieren. Das 

Verfahren verwendet folglich den Zeitraum, der verstreicht, bis der 

Investitionsbetrag wieder zum Unternehmen zurückgeflossen ist, als 

Vorteilhaftigkeits-indikator. 

3.5.1 Definition und Berechnung der Amortisationsdauer 

Als Amortisationsdauer wird derjenige Zeitraum verstanden, in 

dem sich ein Projekt unter Berücksichtigung von Zinsen und 

Zinseszinsen amortisiert. 

Gesucht ist der Zeitraum x (t 1 bis t x ), für den gilt: 

x 

∑ 

t= 

1 

t 

− t 

R ⋅ (1 + i) = 

A 

0 

Eine systematische Vorgehensweise besteht darin, die Barwerte der 

Einzahlungsüberschüsse so lange zu addieren, bis die Summe die 

Anschaffungsauszahlung erreicht oder übertrifft. Erreicht ein Projekt 

die dynamisch errechnete Wiederge-winnung nicht, so lässt dies den 

zwingenden Schluss zu, dass die Rendite des Projektes unter dem des 

zugrundgelegten Kalkulationszinses liegt. 

Rel.Pay - Off 

Abs.Pay - Off - Dauer in Jahren ⋅100 

- Dauer (in%) = 

Erwartete Nutzungsdauer 






Ein Projekt gilt als vorteilhaft, wenn gilt: 

Amortisationsdauer 

≤ 

Nutzungsdauer 

Der Kapitalwert eines solchen Projektes ist zwangsläufig 

größer/gleich null. Insoweit bringt das Verfahren keinen Vorteil, 

zumal es aufwendiger in der Anwendung ist. Oft wird einem Projekt 

auch ein Maximalwert vorgegeben, der nicht überschritten werden 

darf. 

Beim Alternativenvergleich würde man das Projekt mit der kürzeren 

Amortisationszeit auswählen. 


Gegeben seien zwei sich ausschließende Projekte I) und II). Der 

Entscheidungsträger, dessen Kalkulationszinsfuß 6% beträgt, vergleicht beide Projekte 

mit Hilfe der Amortisa-tionsrechnung. 

t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 

I) -100 +20 +20 +20 +20 +20 +20 +20 +120 

II) -100 +60 +50 +5,5 





Berechnung der Amortisationsdauer und des Kapitalwertes 

bei Projekt I): 

t R t (1+i) -t Barwert −t 

R t ⋅ (1+ 

i) 

n 

∑ 

t= 

0 

0 -100 1,0 -100 -100 

1 +20 0,94340 +18,87 -81.13 

2 +20 0,88900 +17,78 -63,35 

3 +20 0,83962 +16,79 -46,56 

4 +20 0,79209 +15,84 -30,72 

5 +20 0,74726 +14,95 -15,77 

6 +20 0,70496 +14,10 -1,67 

7 +20 0,66506 +13,30 +11,63 

8 +120 0,62741 75,29 86,92 

Projekt I) amortisiert sich am Ende der 7. Periode. Es hat eine 

relative Pay-off-Zeit von 87,5%. Der hohe Einzahlungsüberschuss 

in der 8. Periode hat auf die Amortisationszeit keinen 

Einfluss, geht aber in den Kapitalwert ein. 

Berechnung der Amortisationsdauer und des Kapitalwertes 

bei Projekt II): 

t R t (1+i) -t Barwert −t 

R t ⋅ (1+ 

i) 

n 

t= 

0 

0 -100 1,0 -100 -100 

1 +60 0,94340 +56,60 -43,40 

2 +50 0,88900 +44,45 +1,05 

3 +5,5 0,83962 +4,62 +5,67 

Projekt II) amortisiert sich am Ende der zweiten Periode oder nach 

66.67% der Nutzungsdauer. Der Kapitalwert beträgt 5,67. 

∑ 





Die dynamisch ermittelte Amortisationsdauer erfreut sich in der Praxis 

einer großen Beliebtheit, obwohl sie erhebliche konzeptionelle 

Mängel aufweist: 

• Es wird nicht untersucht, ob nach dem Amortisationszeit-punkt 

weitere Ein- oder Auszahlungsüberschüsse auftreten. 

• Die Amortisationsrechnung geht von der Annahme aus, der 

Risikogehalt eines Projektes steige mit zunehmender 

Wiedergewinnungszeit. Der Zeitablauf stellt jedoch keine 

eigenständige Risikodeterminante dar. 

• Es gibt keine objektiv gültigen Kriterien im Sinne einer Soll- 

Amortisationszeit. 

Die Verwendung der Amortisationszeit als alleiniges 

Entscheidungskriterium ist sowohl beim Alternativenvergleich als 

auch bei der Beurteilung eines Einzelprojektes fragwürdig. Die 

dynamisch ermittelte Wiedergewinnungszeit sollte allenfalls als 

Ergänzung zu anderen Investitionsrechen-verfahren herangezogen 

werden. 






Steuern, die das Investitionsobjekt betreffen, stellen Auszahlungen 

dar und sind deshalb bei den Zahlungsströmen zu berücksichtigen: 

• Bei den typischen Kostensteuern (Grund-, Grunderwerb-, Kfz- 

Steuer u.a.) ist dies leicht zu bewerkstelligen. 

• Bei den Gewinn- oder Erfolgssteuern (Einkommen-, 

Körperschaft-, Gewerbeertragsteuer) ist die Berück-sichtigung in 

mehrfacher Hinsicht schwierig. 

Im allgemeinen werden die Steuern auf den Gewinn (unter-stellt es 

werden steuerliche Gewinne gemacht und es gibt Verlustausgleich) 

insbesondere durch die unterschiedliche Abschreibungen einzelner 

Objekte sowie die steuerliche Diskriminierung des Eigen- gegenüber 

dem Fremdkapital die absolute und auch die relative 

Vorteilhaftigkeit von Projekten beeinflussen, etwa in Form 

• eines Zinsvorteils durch zeitliche Verschiebung von 

Steuerzahlungen (Abschreibungswahl) 

• einer Steuerminimierung durch intertemporären Spitzenaus-gleich 

bei progressiven steuern 





Die steuerliche Belastung eines Investitionsvorhabens ergibt sich 

formal aus dem Produkt von Steuersatz und Bemessungs-grundlage. 

Die Ermittlung beider Positionen bereitet besondere Schwierigkeiten: 

• Gewinnsteuern werden nicht auf Zahlungsströme der Investitionen 

berechnet, sondern auf i.d.R. abweichende steuerliche 

Gewinngrößen, weshalb es oft schwierig ist den Beitrag der 

einzelnen Investitionen festzulegen. 

• Da die Steuern nur vom Gesamtgewinn berechnet werden, ergibt 

sich bei Steuern mit variierenden Steuersätzen (Progression bei 

der Einkommensteuer; unterschiedliche Behandlung 

ausgeschütteter und nicht ausgeschütteter Gewinne) das Problem 

der Ermittlung des relevanten Steuersatzes. 

Im Grundmodell erfolgt eine vereinfachte Berücksichtigung der 

Steuern: 

• Die Periodenrückflüsse (R t = E t -A t ) sind um die Steuerzahlungen 

(S t = s(E t – A t –AfA t )) zu kürzen. Es gilt dann: 

R 

nach St 

t 

= R 

t 

− S 

• Der Kalkulationszinsfuß vor Steuern (i) ist durch einen 

Kalkulationszinsfuß nach Steuern (i s ) zu ersetzen, denn auch die 

Rendite „alternativer“ Kapitalverwendungsmög-lichkeiten wird 

durch die Steuerbelastung geschmälert, es sei denn wir würden eine 

steuerbefreite Anlage als Alternative in Betracht ziehen. Es gilt: 

i s 

= i(1 − s) 

Das Kapitalwertmodell hat dann folgende Gestalt: 

n 

nach S t 1 

C0 

= ∑ R t 

t 

(1 i ) 

t= 0 + 

t 

s 






Ein Investor habe die Möglichkeit folgendes Projekt durchzuführen: 

t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 

-100.000 +30.000 +40.000 +30.000 +20.000 +20.000 

a) Berechnung des Kapitalwertes ohne Berücksichtigung der 

Steuern, bei einem Kalkulationszinsfuß von 10%. 

Der Kapitalwert vor Steuern beträgt 8.949. 

b) Berücksichtigung der Steuerbelastung, mit folgenden 

Bedingungen: 

- Der Steuersatz betrage 50% und Verlustausgleich mit anderen 

Projekten ist möglich. 

- Lineare Abschreibung 

- Opportunitätskosten der eingesetzten Eigenmittel vor Steuern 

sei 10% p.a. 

- Kalkulationszins nach Steuern: i s = 0,05 

t R t AfA t S t = 

s(R t -AfA t 

nach St 

t 

R = R 

abzgl. 

S 

t 

t 

1i (1 t 

+ 

s ) 

Barwerte 

0 -100.000 -100.000 1,0 -100.000 

1 30.000 20.000 -5.000 25.000 0,9524 23.810 

2 40.000 20.000 -10.000 30.000 0,9070 27.210 

3 30.000 20.000 -5.000 25.000 0,8639 21.597 

4 20.000 20.000 20.000 0,8227 16.454 

5 20.000 20.000 20.000 0,7835 15.670 

Der Kapitalwert nach Steuern ist 4.742. 





c) Berücksichtigung der Steuerbelastung zusätzlich zu den Bedingungen unter b) soll gelten, dass 

30% der Investition durch ein Lieferantenkredit mit 4%p.a. finanziert werden: 

t R t AfA t Zinsen 

Z t 

Tilgung 

des LK 

zuzgl. Z t 

(T t ) 

Restschuld 

des LK 

S t =s(R t - 

AfA t -Z t ) 

nach St 

t 

R = R 

abzgl. 

abzgl. 

S 

T 

t 

t 

t 

1i (1 t 

+ 

s ) 

Barwerte 

0 -100.000 +30.000 (-30.000) 0 -70.000 1,0 -70.000 

1 30.000 (20.000) (1.200) -7.200 (-24.000) -4.400 18.400 0,9524 17.524 

2 40.000 (20.000) (960) -6.960 (-18.000) -9.520 23.520 0,9070 21.333 

3 30.000 (20.000) (720) -6.720 (-12.000) -4.640 18.640 0,8639 16.103 

4 20.000 (20.000) (480) -6.480 (-6.000) +240 13.760 0,8227 11.320 

5 20.000 (20.000) (240) -6.240 (0) +120 13.880 0,7835 10.875 

Der Kapitalwert nach Steuern und unter Berücksichtigung der Fremdkapitalzinsen beträgt 7.155. Durch die 

Abzugsfähigkeit der Fremdkapitalzinsen ergibt sich eine geringere Steuerbelastung der Investition, was zu 

einem höheren Kapitalwert führt. 






Ermitteln Sie den Kapitalwert nach Steuern des Projektes aus 

Anwendungsbeispiel 3.22 c). Gehen Sie jetzt davon aus, dass 

40% der Investitionssumme durch einen Lieferantenkredit 

finanziert werden, der mit 10% verzinst werden muss. Gehen 

Sie davon aus, dass der Kredit einschl. Zinsen wie folgt bedient 

wird:{ + 40.000; 

−12.000; 

−11.200; 

−10.400; 

−9.600; 

− 8.800} 

. 


Von einem Investitionsprojekt sei bekannt, dass es Anschaffungsauszahlungen 

i.H. von 120.000,-€ erfordert, vier Jahre 

genutzt und zu einem nominellen Restwert von 20.000,- € 

verkauft werden kann. Steuerlich kann das Aggregat über drei 

Jahre linear abgeschrieben werden. Während der 

Nutzungsdauer könnten folgende Rückflüsse vor Zinsen und 

Steuern erwirtschaftet werden: 

t 1 t 2 t 3 t 4 

+50.000 +50.000 +50.000 +30.000 

Bei Realisierung des Projektes könnte ein Kredit zu folgenden 

Konditionen aufgenommen werden: 

Nom. Kredithöhe: 48.000,- € 

Laufzeit 

4 Jahre 

Effektivverz. vor Steuern 6% p.a. 

Tilgung: 

gleichbleibende Raten 

Die Alternativrendite des Eigenkapitals beträgt 12% p.a. nach 

Steuern. Der Gewinnsteuersatz liegt bei 40%. Ermitteln Sie den 

Kapitalwert mit und ohne Berücksichtigung der Steuern.

3. Dynamische Verfahren 3.1 Vorbemerkungen 3.1.1 Gemeinsame ...

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