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32 4. Unified field description
Man kann im elektromagnetischen Fall diesen Energiedichtetensor explizit ausdrücken.
Da aber das Energie-Materie-Äquivalent gilt, das ja jeder Energie auch träge Masse
zuordnet, kann man natürlich diesen nichtsymmetrischen, oder hier besser
nichthermiteschen, Energiedichtetensor gut verallgemeinern.
Zum Begriff hermitesch und symmetrisch: Auch hier habe ich die Unterscheidung
gemacht, die in der Mathematik zwischen reellen und komplexen Zahlen üblich ist. Ein
Tensor, dessen Komponenten reelle Zahlen sind, und dessen Indizierungen vertauschbar
sind, nennen wir bekanntlich symmetrisch.
Handelt es sich aber um Komponenten, die aus komplexen Zahlen bestehen, müsste man
immer bei der Transposition der Indizierung zugleich eine komplexe Konjugation
durchführen. Solche Tensoren, wenn sie auch symmetrisch erscheinen, bezeichnen wir als
hermitesche Tensoren.
Der allgemeine Energiedichtetensor erscheint aber nichthermitesch, was an der
Wechselbeziehung zwischen Gravitation und ihrer Feldquelle liegt. Er lässt sich im
elektromagnetischen Fall folgendermaßen schreiben:
We can express this energy density tensor explicitly in the
electromagnetic case. However, since the energy-matter equivalence
assigns an inertial mass to each energy, one can naturally generalize
this non-symmetrical or more correctly, non-Hermitian, energy
density tensor here as well.
Regarding the terms Hermitian and symmetric: I make the distinction
here between real and complex numbers, as is usual in mathematics.
A tensor whose components are real numbers, and whose indices are
interchangeable we call symmetric.
If it contains components which consist of complex numbers, we
would also have to do a complex conjugation at the same time as the
index transposition. I call such tensors Hermitian, even if they are
symmetric and real.
The general energy density tensor seems to be non-Hermitian
however, because of the interaction between gravitation and its field
source. For the electromagnetic case alone, it can be written as
follows:
T
= W
+ Φ
W
( E)
ik ik ik
,
ik ki ik
= W ≈ V
(1)