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36 4. Unified field description
Man kann eine Parallelverschiebung in einem solchen nichteuklidischen Raum betrachten,
in dem der Fundamentaltensor vom Einheitstensor verschieden ist, und kommt dabei zu
den sogenannten Christoffel-Symbolen, Gl. (5), die in der bekannten Weise durch partielle
Ableitungen des Fundamentaltensors definiert sind.
Considering a parallel transport in such a non-Euclidean space, in
which the fundamental tensor is different from the unit tensor, we
find the Christoffel symbols, EQ. (5), which are defined as usual by
partial derivatives of the fundamental tensor.
⎧ i ⎫ ⎧ i ⎫ ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞
⎨ ⎬=
⎨ ⎬ =
1 im g
km
g
ml
g
kl
g ⎜ + − ⎟
(5)
l k m
⎩kl⎭
⎩lk⎭
2 ⎝ ∂x
∂x
∂x
⎠
Die beiden kovarianten Indizierungen stehen unten, die kontravarianten oben. Sie sind in
ihren kovarianten Indizierungen hermitesch.
Man kann nun den metrischen Fundamentaltensor als tensorielles Gravitationspotential
interpretieren, weil die Geodätengleichung Gl. (6) gilt, die durch die Christoffel-Symbole
ausgedrückt werden kann.
The two lower indices are covariant, the upper indices are
contravariant. These symbols are Hermitian in their covariant indices.
We can now interpret the fundamental metric tensor as a tensorial
gravitational potential, because the geodesic equation EQ. (6) applies,
which can be expressed by the Christoffel symbols.
i
&& x
⎧ i ⎫ k
+ ⎨ ⎬x&
x&
⎩kl⎭
l
= 0
(6)
Einsteins Überlegung war nun die, dass das Prinzip (a) unserer empirischen Basis, also
das Energieerhaltungsprinzip, gelten muss. Das heißt, dass die Vektordivergenz des
Energiedichte-Tensors, beispielsweise hier des elektromagnetischen Energiedichte-
Tensors V ik , verschwinden muss. Der Tensor ist divergenzfrei, das heißt die
Vektordivergenz ist gleich dem Nullvektor:
Einstein’s thought was that now the energy conservation principle
(principle a) of our empirical basis) must apply. That is, that the
vector divergence of the energy density tensor must disappear – for
example the electromagnetic energy density tensor V ik
. The tensor is
divergence-free, that is, the vector divergence is equal to the zerovector: