Gruppentheorie und Quantenmechanik - Physikzentrum der RWTH ...
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( DadieWurzelausdruckeungleichNullsind,mussendieZahlencj= 4.4.DASWIGNER-ECKART-THEOREM jm;jm)unabhangigvonmsein.2 105<br />
reduziblenDarstellungtransformieren,auchOperatorenkonnendiese Eigenschaftbesitzen. NichtnurVektorenkonnensichwiediekanonischeBasiseinerir-<br />
Denition17ExistiertfurfestesjeinSatzvonOperatorenfTjm: ?jmjgaufdemHilbertraumH,sodafuralleu2SU(2)<br />
roperatorvomTypjunter<strong>der</strong>DarstellungU. erfulltist,soheitTeinirreduziblerTensoroperatoro<strong>der</strong>kurzTenso-<br />
U(u)Tjm0U(u?1)=XmDjmm0(u)Tjm (4.32)<br />
Bemerkung:ObwohldieDenitionfurdieSU(2)vorgenommenwurde,istes,wiemanleichtsieht,ohneweiteresmoglicheineahnliche<br />
DenitionfurjedekompakteGruppezugeben.ZugleichistdieseDe- OperatorenA1;A2;A3aufHbildeneinenVektoroperator,wenn nitioneineVerallgemeinerungdesKonzeptes"Vektoroperator":Drei<br />
mitR=f(u)gilt,wobeiSU(2)f!SO(3)dieUberlagerungsabbildung U(u)AkU(u?1)=XiRikAi (4.33)<br />
soerhaltenwirdieaquivalenteFormulierung bezeichnet.GehenwirhierzuinnitesimalenTransformationenuber,<br />
AufdieseWeisekonnenvielebekannteOperatoren,wie<strong>der</strong>OrtsoperatorQ,<strong>der</strong>ImpulsoperatorP<strong>und</strong>alleDrehimpulsoperatorenL,S,<br />
0 j=k (4.34) [Aj;Jk]=[Jj;Ak]=(iA`j;k;`=1;2;3zyklisch<br />
Jetc.alsVektoroperatorenerklartwerden.Esistnunleicht,ausden KomponentenA1;A2;A3einesbeliebigenVektoroperatorsdiekanonischenKomponentenA1m(m=?1;0;1)einesTensoroperatorsvom<br />
Typ1imSinne<strong>der</strong>Denition13zuformen: A1m=8>:?1 p2(A1?iA2)m=?1 1p2(A1+iA2)m=1<br />
A3 m=0 (4.35)
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