Gruppentheorie und Quantenmechanik - Physikzentrum der RWTH ...
Gruppentheorie und Quantenmechanik - Physikzentrum der RWTH ...
Gruppentheorie und Quantenmechanik - Physikzentrum der RWTH ...
Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.
YUMPU macht aus Druck-PDFs automatisch weboptimierte ePaper, die Google liebt.
78 Wirberechnenn<strong>und</strong>asSkalarprodukt<strong>der</strong>CharakterezweierDarstellungenDj<strong>und</strong>Dj0unterBenutzungvonSatz18:<br />
KAPITEL3.DIETHEORIEDERSU(2)<br />
M[jj0]=1 =2Z 2Z2<br />
0dsin(2j+1)sin(2j0+1) 0d!(1?cos!)sin(2j+1)!=2 sin!=2 sin(2j0+1)!=2 sin!=2(3.80)<br />
DieDarstellungDjistirreduzibel,weilihrCharakterdieNorm1hat =jj0 (=!=2) (3.82) (3.81)<br />
(Satz14).ZweiDarstellungenDj<strong>und</strong>Dj0mitj6=j0sindinaquivalent, weilihreCharaktereorthogonalzueinan<strong>der</strong>sind.DieListefDj;j= 0;1=2;1;3=2;:::g<strong>der</strong>irreduziblenDarstellungenistvollstandig;denn raktergelten:8jM(j)=0,d.h. gabeeseineweitereirreduzibleDarstellung,somutefurihrenCha-<br />
Z<br />
stetigenFunktionenf()aufdemIntervall[0;]mitf(0)=f()=0 WeildasFunktionensystemsinn(n=0;1;2;:::)furdenRaumaller 0dsin(2j+1)[(2)sin]<br />
PjmhomogenvomGrade2jsind,giltPjm(?uT)=(?1)2jPjm(uT) vollstandigist,folgt8(2)sin=0,d.h.=0.Darausfolgt:(0)= Dimension<strong>der</strong>Darstellung=0,alsoeinWi<strong>der</strong>spruch.DadiePolynome SU(2)!SO(3)werdenabergenauu<strong>und</strong>?uaufdasgleicheR2 <strong>und</strong>somitDj(?u)=(?1)2jDj(u).Bei<strong>der</strong>Uberlagerungsabbildung SO(3)abgebildet.DamitergebensichdierestlichenAussagendesSatzes.<br />
Jede(unitare)DarstellungD<strong>der</strong>SU(2)hatihreeigenen(selbstad-<br />
2. jungierten)GeneratorenJ=fJ1;J2;J3g.Denitionsgemagilt fura=fa1;a2;a3gmitreellenKomponenten.In<strong>der</strong>DarstellungD= DjbestatigtmanleichtdurchUbergangzudeninnitesimalenSU(2)- D(e?ia=2)=e?iaJ (3.83)<br />
Transformationendieaus<strong>der</strong><strong>Quantenmechanik</strong>bekanntenFormeln:<br />
CharaktereinestetigeFunktion.Beachte,daf()=(2)sindieBedingung f(0)=f()=0erfullt. 8Wirnutzenhiernaturlichaus,dadieDarstellungstetigist.Folglichist<strong>der</strong> (J1+iJ2)mm0=[(j?m+1)(j+m)]1=2m;m0+1(3.84)
Change language