Gruppentheorie und Quantenmechanik - Physikzentrum der RWTH ...
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gegebenenDarstellunggef<strong>und</strong>en.DieentscheidendeFragelautetdann: Nehmenwiran,wirhattenbereitseineninvariantenTeilraumeiner 46 KAPITEL2.DARSTELLUNGENVONGRUPPEN<br />
ZerfalltdieDarstellung?DieFragelatsichnichtdadurchbeantworten, damanfurirgendeineBasis,dieaufdieDreiecksblockstruktur(2.9) erfulltsein.Vielmehrmuuntersuchtwerden,obesuberhaupteine fuhrt,nachpruft,obhierinQ=0gilt.Imallgemeinenwirddiesnicht Basisgibt,furdiedieBedingungQ=0erfulltist.Dieseschwierige Arbeitwirdunsabgenommen,wennD:G!Aut(H)eineunitare DarstellungaufeinemHilbertraumHist:HabenwirnamlichinH1 auchseinorthogonalesKomplementH2=H?1ein(abgeschlossener) einen(abgeschlossenen)invariantenTeilraumvonHgef<strong>und</strong>en,soist invarianterTeilraum,wiemansehrleichtbeweist.EsgiltsodannH= H1H2<strong>und</strong>D=D1D2.Mitan<strong>der</strong>enWorten:<br />
Darstellungkommtuns<strong>der</strong>Satz3zuHilfe,<strong>der</strong>unsgestattet,beiend-<br />
In<strong>der</strong>allgemeinenSituationeinerlinearen(nichtnotwendigunitaren) Satz4Je<strong>der</strong>eduzibleunitareDarstellungzerfallt.<br />
strukturz<strong>und</strong>en,durchdiedieDarstellungunitarwird.Deshalbha-<br />
benwirdaswichtigeErgebnis: lichenGruppen<strong>und</strong>endlich-dimensionalenRaumen,eineHilbertraum-<br />
ausgedehntwerden.DazubeachtemandieBemerkungimvorigenAbschnitt.<br />
Beispielen. Dalokalkompakte(abernichtkompakte)Gruppenreduziblenicht-<br />
1.BeispielDurch<br />
Bemerkung:AuchdieserSatzkannsinngemaaufkompakteGruppen Satz5Je<strong>der</strong>eduzibleDarstellungeinerendlichenGruppezerfallt.<br />
zerfallendeDarstellungenbesitzen,zeigenwirnunandreimarkanten<br />
wirdeinezweidimensionalereduzibleDarstellung<strong>der</strong>additivenGruppe<strong>der</strong>komplexenZahlenbeschrieben.Siezerfalltnicht;dennfurjedes<br />
D(z)= 1z 01!z2C (2.10)<br />
z6=0besitztdieMatrixz?1D(z)Jordan-Gestalt.Aus<strong>der</strong>Algebraist
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