Gruppentheorie und Quantenmechanik - Physikzentrum der RWTH ...
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4EineTransformationsgruppeistgenaudanneineSymmetriegrup-<br />
pe,wenn<strong>der</strong>Hamilton-OperatordesSystemsmitallenunitaren INHALTSVERZEICHNIS<br />
EsbestehteinengerZusammenhangzwischenSymmetriegruppen Operatoren<strong>der</strong>Darstellungkommutiert.<br />
Gelingtes,dieeinemProbleminnewohnendenSymmetrienzu <strong>und</strong>Erhaltungsgroen.FureinekontinuierlicheGruppebedeutet diesdenUbergangzu<strong>der</strong>Lie-AlgebradieserGruppe.<br />
DiestatistischeInterpretation<strong>der</strong><strong>Quantenmechanik</strong>(i.e.eine erkennen,sokanneinedenSymmetrienangepatemathematische BehandlungzuentscheidendenVereinfachungenfuhren. raumlichkonstantePhase<strong>der</strong>Wellenfunktionistnichtmebar) machtesnotwendig,denallgemeinerenBegri<strong>der</strong>projektiven DarstellungeinerSymmetriegruppeeinzufuhren.DieserBegri fuhrtzwangslaugaufmathematischeKonstruktionenandenGruppenselbst,wieetwadieBildungvonzentralenErweiterungenunpeSO(3)zu<strong>der</strong>unitarenGruppeSU(2),mit<strong>der</strong>enHilfemanerst<br />
diesemZusammenhang<strong>der</strong>Ubergangvon<strong>der</strong>orthogonalenGrup-<br />
in<strong>der</strong>Lageist,dasAuftretenhalbzahligerSpinsin<strong>der</strong>Naturzu UberlagerungeneinerSymmetriegruppe.Ambekanntestenistin<br />
ManchmaltritdieNatureineAuswahlunter<strong>der</strong>Vielzahl<strong>der</strong> moglichenDarstellungeneinerGruppe,wieetwabeidenn-Teil-<br />
verstehen.<br />
chensystemenununterscheidbarerTeilchen:DieDichotomieBose-<br />
InvielradikalererWeise,alsesin<strong>der</strong><strong>Quantenmechanik</strong>moglichist, FermiisteinesolcheEinschrankunginbezugaufdiePermutationsgruppe.<br />
wurdein<strong>der</strong>mo<strong>der</strong>nenPhysik<strong>der</strong>Elementarteilchen<strong>der</strong>SymmetriebegrialsLeitideeandenAnfanggestellt.DasheutegultigeStandardmodell,mitdemwirdief<strong>und</strong>amentalenWechselwirkungenbeschreibenbeibleibtjedochungeklart,wo<strong>der</strong>tiefereGr<strong>und</strong>furdasAuftretenbestimmterEichgruppenzusuchenist.EsgibtAnzeichendafur,da<strong>der</strong><br />
beruhtentscheidendaufdemKonzept<strong>der</strong>lokalenEichsymmetrie.Hier-<br />
Gr<strong>und</strong>ineinerverborgenengeometrischenStrukturunsererWeltliegt,
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