Gruppentheorie und Quantenmechanik - Physikzentrum der RWTH ...
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84 te)Basis.Diesbedeutetkonkretzweierlei: IndiesemHilbertraumbildendieKugelfunktioneneine(orthonormier-<br />
KAPITEL3.DIETHEORIEDERSU(2)<br />
1.Orthogonalitat<strong>und</strong>Normierung,d.h.<br />
2.Vollstandigkeit,d.h.jedeFunktionf2L2(S2)kannnachKugelfunktionenentwickeltwerden:<br />
=ZdY`m()Y`0m0()=``0mm0 (3.111) (Y`m;Y`0m0)def<br />
f()=1X` c`m=ZdY`m()f() m=?`c`mY`m() `X (3.113) (3.112)<br />
DieersteEigenschaftwirdindenVorlesungenuber<strong>Quantenmechanik</strong> behandelt,diezweiteEigenschafterfor<strong>der</strong>tetwasAufwand(insbeson<strong>der</strong>eMethodenaus<strong>der</strong>Funktionalanalysis).<br />
3.7 In<strong>der</strong>ElektrostatikbegegnetmandenharmonischenPolynomenbei <strong>der</strong>MultipolentwicklungdesPotentials.DerWegzueinersolchenEntwicklungfuhrtuberdieLegendre-PolynomeP`().Gewohnlichwerden<br />
dieLegendre-PolynomedurchihreerzeugendeFunktiondeniert:<br />
Multipole<br />
(?11;0ur0=jx0j).Einean<strong>der</strong>eWeise,Legendre-Polynomeein-<br />
r!`P`(cos#) (3.114)<br />
P`(cos#)=q4 2`+1Y`0(#;0) (3.115)
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