Algorithmische Zahlentheorie und Kryptographie - Mitschriften von ...

6. Da m⊤n teilerfremd sind, existieren x und y mit xm + yn = 1, wähle
x ′ und y ′ mit mx ′ = k und ny ′ = k. Damit gilt: k = kxm + kyn =
ny ′ xm + mx ′ yn, damit mn | k.
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1.2.2 Euklidscher Algorithmus
Vorbedingung ist m, n ∈ Z, als Invariante kann man angeben:
(a = xm + yn) ∧ (b = x ⋆ m + y ⋆ n) ∧ (a ≥ b ≥ 0) ∧ ((a, b) = (m, n))
1 i f ( |m| ≥ | n | ) {
2 ( a , b ) = ( |m| , | n | ) ;
3 ( x , x ⋆ ) = ( sgn (m) , 0 ) ;
4 ( y , y ⋆ ) = (0 , sgn (n ) ) ;
5 } else {
6 ( a , b ) = ( | n | , |m| ) ;
7 ( x , x ⋆ ) = (0 , sgn (m) ) ;
8 ( y , y ⋆ ) = ( sgn ( n ) , 0 ) ;
9 }
10 while ( b > 0) {
11 q = a / b ;
12 ( a , b ) = (b , a−qb ) // p a r a l l e l
13 ( x , y , x ⋆ , y ⋆ ) := ( x ⋆ , y ⋆ , x−qx ⋆ , y−qy ⋆ )
14 }
Am Ende gilt die Nachbedingung a = (m, n) = xm + yn.
Proposition: Der obige Algorithmus zur Berechnung des ggT zweier Zahlen
m und n und einer zugehörigen Linearkombination ist korrekt und kommt
mit O(max{log m, log n}) arithmetischen und O(log m·log n) Bitoperationen
aus.
Beweis:
• Korrektheit: Benutze obige Invariante, Beispiel:
a b
27 = 15 · 1 + 12
15 = 12 · 1 + 3
12 = 3 · 4 + 0
• Laufzeit: Vorbetrachtung: Für 0 < b ≤ a gilt: a mod b < 1 a. Dazu:
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1. Fall: b ≤ 1 2 a, dann gilt sofort a mod b < b ≤ 1 2 a, also a mod b < 1 2 a.
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