Algorithmische Zahlentheorie und Kryptographie - Mitschriften von ...

Beweis: Die Laufzeitschranke läßt sich abschätzen als
( ) (
∑ n
O ⊆ O n · ∑ )
1
⊆ O(n · (ln n + 1))
p
i
p≤n
i≤n
□
Definition: Eine Primfaktorzerlegung von n ist eine endliche Folge p 1 , . . . , p r
von Primzahlen mit p i ≤ p i+1 und ∏ i p i = n.
Satz: Jede positive Zahl besitzt eine Primfaktorzerlegung.
Beweis: über obiges Lemma, dass jede Zahl größer zwei durch eine Primzahl
teilbar ist.
Lemma: Falls p | n mit einer Primzahl p und n ≥ 1, so gibt es eine
Primfaktorzerlegung von n mit p.
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik): Jede positive ganze Zahl hat
genau eine Primfaktorzerlegung.
Beweis: Angenommen, n sei eine kleinste Zahl mit mindestens zwei Primfaktorzerlegungen
O.B.d.A. sei p 0 < q 0 . Sei nun
n = p α 0
0 · . . . · p α r−1
r−1
n = q β 0
0 · . . . · q β j−1
j−1
m = n − (p 0 q β 0−1
0 · . . . · q β j−1
j−1 ) = (q 0 − p 0 ) · (q β 0−1
0 · . . . · q β j−1
j−1 )
Damit hat m eine Primfaktorzerlegung ohne p 0 , indem rechts (q 0 − p 0 ) durch
eine Primfaktorzerlegung ersetzt wird, aber es gilt auch p 0 | m, also hat m
auch eine Zerlegung mit p 0 . Dies ist ein Widerspruch zur Minimalität von n.
Folgerungen:
□
1. Falls p eine Primzahl ist und p | mn, so gilt p | m oder p | n.
2. Falls p 0 , . . . , p r−1 verschiedene Primzahlen sind und p i | n für alle i < r
gilt, so p 0 · · · p r−1 | n.
3. Seien (p 0 , . . . , p r−1 ) und (q 0 , . . . , q r−1 ) Primfaktorzerlegungen von
m bzw. n. Dann gilt m⊤n genau dann, wenn {p 0 , . . . , p r−1 } ∩
{q 0 , . . . , q s−1 } = ∅ ist.
Beweis:
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