Algorithmische Zahlentheorie und Kryptographie - Mitschriften von ...

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Inhaltsverzeichnis 1 Primzahltests 2 1.1 Zahlalgorithmen und deren Komplexität . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Komplexitätsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 O-, Omega-, Theta-Notation . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Komplexität grundlegender Probleme . . . . . . . . . . 3 1.2 Grundlagen der Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Teilbarkeit und größter gemeinsamer Teiler (ggT) . . . 4 1.2.2 Euklidscher Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Modulare Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.4 Chinesischer Restsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.5 Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.6 Primzahlsatz und Satz von Tschebyschow . . . . . . . . 14 1.3 Algebraische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.1 Gruppen und Untergruppen . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.2 Zyklische Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.3 Ringe und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.4 Erzeuger von endlichen Körpern . . . . . . . . . . . . . 25 1.4 Komplexitätsklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5 Der Miller-Rabin-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.5.1 Einfache Primzahltests . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.5.2 Der Fermat-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.5.3 Nicht-triviale Quadratwurzeln . . . . . . . . . . . . . . 34 1.5.4 Einschub: Riemannsche Hypothese . . . . . . . . . . . 36 1.5.5 Der Miller-Rabin-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.6 Der Solovay-Strassen-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.6.1 Quadratische Reste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.6.2 Das Jacobi-Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.6.3 Quadratisches Reziprozitätsgesetz . . . . . . . . . . . . 42 1.6.4 Der Solovay-Strassen-Test . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.7 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.7.1 Polynome über Ringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.7.2 Teilen mit Rest und Teilbarkeit von Polynomen . . . . 51 1.7.3 Quotientenstrukturen von Polynomringen . . . . . . . 53 1.7.4 Irreduzible Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1.7.5 Nullstellen von Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1.7.6 Nullstellen des Polynoms x r − 1 . . . . . . . . . . . . . 55 1.8 Primzahltest von Agrawal, Kayal, Saxena . . . . . . . . . . . . 56 1.8.1 Die Grundidee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.8.2 Primzahltest von Agrawal, Kayal und Saxena . . . . . 57 i
1.8.3 Laufzeitanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1.8.4 Korrektheitsbeweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.9 Übersicht über die Primzahtests . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2 Faktorisierungsalgorithmen 67 2.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.1.1 Generelle Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.1.2 Probedivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.1.3 Klassifizierung von Faktorisierungsalgorithmen . . . . . 68 2.2 Einfache Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.2.1 Fermat-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.2.2 Pollardsche (p-1)-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.2.3 Lehmann-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.2.4 Pollard-Strassen-Multiplikations-Methode . . . . . . . . 74 2.2.5 Pollardsche Rho- bzw. Lasso-Methode . . . . . . . . . 76 2.3 Das quadratische Sieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.3.1 Idee des quadratischen Siebs . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.3.2 Algorithmus des quadratischen Siebs . . . . . . . . . . 79 2.3.3 Implementierung des Siebens (Schritt 2) . . . . . . . . 80 2.3.4 Schnelle Matrixmethoden (Schritt 3) . . . . . . . . . . 82 2.3.5 Laufzeitanalye für Siebprozess und Optimierung von B 82 2.4 Das Zahlkörpersieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.4.1 Algebraische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.4.2 Idee des Algorithmus’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.4.3 Algorithmus des Zahlkörpersiebs . . . . . . . . . . . . . 92 3 Elliptische Kurven 94 3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.2 Kubiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.2.1 Affine Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.2.2 Projektive Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.2.3 Addition auf Kubiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.3 Lentras Faktorisierungsalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.4 Elliptische Kurven in der Kryptographie . . . . . . . . . . . . 101 ii
Seite 1: Algorithmische Zahlentheorie und Kr
Seite 5 und 6: 1 Primzahltests Ziel ist hier ein A
Seite 7 und 8: 7 p = min ( a b , n+1); // Modulare
Seite 9 und 10: 1. als Übung für den interessiert
Seite 11 und 12: 2. Fall: b > 1 2 a, dann gilt a div
Seite 13 und 14: 3. es gilt das Distributivgesetz, d
Seite 15 und 16: 2. Multiplikativität: Falls m⊤n
Seite 17 und 18: = p k − p k−1 □ 1. m hat eine
Seite 19 und 20: Lemma: Für alle nicht-negativen re
Seite 21 und 22: a) n gerade: b) n ungerade: ∏ p
Seite 23 und 24: 2. Das inverse Element ist für jed
Seite 25 und 26: Lemma: Sei G zyklisch mit n := |G|
Seite 27 und 28: Weiterhin gilt: (g i ) j = 1 ⇐⇒
Seite 29 und 30: • Wir zeigen noch: gh erzeugt die
Seite 31 und 32: Klasse co-RP: L ∈ co-RP genau dan
Seite 33 und 34: „⇐“ Sei G = Z ∗ n. Aus 1. f
Seite 35 und 36: Daraus folgt: (b) Sei n nun zerlegb
Seite 37 und 38: (ii) Es gilt a ∈ W F n , Beweis d
Seite 39 und 40: 1.5.4 Einschub: Riemannsche Hypothe
Seite 41 und 42: 3. Da n eine Carmichael-Zahl ist, g
Seite 43 und 44: Die Elemente der Form a = g 2i+1 si
Seite 45 und 46: Satz: Sei n ≥ 3 ungerade. Dann gi
Seite 47 und 48: dann, betrachte dazu in Z p : ∏ i
Seite 49 und 50: a · ∑ i = ∑ ia = ∑ (ia − (
Seite 51 und 52: 1.6.4 Der Solovay-Strassen-Test Lem
Seite 53 und 54:
• Für f = (a 0 , a 1 , . . .) un
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1 i f ( deg ( g ) > deg ( f ) ) 2 r
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Satz: Für jedes normierte Polynom
Seite 59 und 60:
- Wir beweisen die Behauptung zunä
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3. Für o r (n) (Zeile 13) werden n
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Nun gilt: B < n 1 · n 2 · · · n
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2. folgt aus (γ) 3. mit (δ) gilt
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Aus I(n, x + a) ergibt sich zudem:
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also g b 0 − g b 1 = 0. Also sind
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2.1.3 Klassifizierung von Faktorisi
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2.2.3 Lehmann-Methode Das Ziel ist,
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und analog h i+1 − α = h i+1 −
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Damit sind a und b Kandidaten für
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2.2.5 Pollarsche ρ-Methode Sei n =
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Das quadratische Sieb ist die erste
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2. Schritt (Sieben): Suche mindeste
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2.3.4 Schnelle Matrixmethoden (Schr
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Bemerkung: Eine große Zahl, die mi
Seite 89 und 90:
Satz: Ist α algebraisch über K, s
Seite 91 und 92:
Ein Zahlring ist nicht Z[α] mit α
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3. Außerdem benötigen wir Algorit
Seite 95 und 96:
Bemerkung: Falls für genügend Paa
Seite 97 und 98:
3 Elliptische Kurven 3.1 Einleitung
Seite 99 und 100:
Abbildung 1: Idee der projektiven E
Seite 101 und 102:
Definition: Sei wieder C wie oben,
Seite 103 und 104:
3.3 Lentras Faktorisierungsalgorith
Seite 105:
Das Protokoll ist dann korrekt, d.h
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