Algorithmische Zahlentheorie und Kryptographie - Mitschriften von ...

3. H = { a ∈ G | a m d = 1 } = { a ∈ G | a |H| = 1 }
= {a ∈ G | o(a) | |H|}.
Beweis:
1. + 2. Falls H = {1}, so ist die Behauptung trivial. Sei also |H| > 1. Sei
d > 0 minimal mit g d ∈ H. Dann ist H ′ := {1, (g d ), (g d ) 2 , . . . , (g d ) m d −1 }
Untergruppe von H. Angenommen, g i ∈ H \ H ′ . Sei j maximal mit
dj < i < (d + 1)j. Dann gilt: g dj ≠ g i , also
1 = g dj · g −dj = g i g −dj = g i−dj
Also ist H = H ′ . Zu d | m: Angenommen, d ∤ m. Sei j maximal mit
dj < m. Dann gilt wieder wie oben g m−dj ∈ H und 0 < m − dj < d,
Widerspruch.
3. Aus 2. folgt H ⊆ { a ∈ G | a m d = 1 } .
Falls a m d = 1 und a = g i , so (g i ) m d = g i m d = 1 genau dann, wenn m | i m d . □
Lemma: Sei G zyklische Gruppe der Ordnung m < ∞ und s ∈ Z sowie
G s = {g ∈ G | g s = 1}. Dann ist G s eine zyklische Untergruppe von G mit
Ordnung (m, s).
Beweis: Mit vorherigem Lemma folgt
{g ∈ G | g s = 1} = {g ∈ G | o(g) | s} = {g ∈ G | o(g) | s, m}
〉
= {g ∈ G | o(g) | (s, m)} =
〈g m
(m,s)
.
Erinnerung: D(m) ist die Menge der nichtnegativen Teiler von m.
Lemma: Sei G endliche zyklische Gruppe der Ordnung m und 〈g〉 = G.
1. Für jedes i gilt o G (g i ) = m
(i,m) .
2. Für jedes d ∈ D(m) enthält G genau ϕ(d) Elemente der Ordnung d.
Beweis:
1. Es gilt o G (g i ) |
m
(i,m) wegen
(g i ) m
(i,m)
= (g m ) i
(i,m)
23
= 1
i
(i,m) = 1.