Algorithmische Zahlentheorie und Kryptographie - Mitschriften von ...

≠ ≠
1 for ( i ∈ {1 , . . . , l }) {
2 a ∈ {1 , . . . , n−1}; // z u f ä l l i g
3 c = a n−1
2 mod n ;
4 i f ( c 1 ∧ c n−1)
5 return "probably composite" ;
6 i f ( c == n−1)
7 return "probably prime" ;
8 }
9 return "probably composite" ;
Satz:
1. Für festes l lässt sich Lehmanns Test in Polynomzeit implementieren.
2. Für jedes n ist die Fehlerwahrscheinlichkeit kleinergleich 2 −l .
3. PRIMES ∈ BPP.
Beweis (mit Lücke!):
1. Polynomzeit wird erreicht, wenn die Exponentiation durch iteriertes
Quadrieren implementiert wird.
2. Betrachte die Abbildung
Fallunterscheidung:
h: {1, . . . , n − 1} → Z n mit a ↦→ a n−1
2 mod n
(a) Sei n eine Primzahl. Dann ist h: Z ∗ n → Z ∗ n sogar ein Gruppenhomomorphismus.
Es gilt für alle a ∈ {1, . . . , n − 1}, dass h(a) 2 = 1
ist; daraus folgt (da Z n Körper ist), dass h(a) ∈ {1, n − 1} ist.
Damit ist die Fehlerwahrscheinlichkeit gegeben durch P (h(a) = 1) l .
Sei dazu nun g ein Erzeuger der zyklischen Gruppe Z ∗ n. Betrachte
die Menge
{
i
} {
∣ (g i ) n−1
2 = 1 =
=
i
{
i
∣ g
}
n−1
i· 2 = 1
∣ n − 1 | i · n − 1 }
2
= {1 ≤ i < n | i gerade }
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