Algorithmische Zahlentheorie und Kryptographie - Mitschriften von ...

NP
RP
P
ZPP
BPP
PP
co-RP
co-NP
1.5 Der Miller-Rabin-Test
1.5.1 Einfache Primzahltests
Erinnerung: Ein Primzahltest ist ein Entscheidungsalgorithmus für
PRIMES = {〈n〉 2
| n ist Primzahl}.
Sofort einsichtig ist folgender Satz:
Satz: PRIMES ∈ co-NP.
Beweis: Eine passende PTM ist: Zur Eingabe 〈n〉 2
rate eine Zahl m mit
1 < m < n. Falls m | n gilt (Teilbarkeit kann in O(Log 3 n) getestet werden),
so akzeptiere nicht, andernfalls akzeptiere.
Weniger direkt einsichtig ist folgender Satz:
□
Satz von Pratt: PRIMES ∈ NP.
Um dies zu zeigen, benötigen wir zunächst folgendes Lemma:
Lemma von Lucas: Sei n ≥ 2. Dann ist n eine Primzahl genau dann, wenn
es ein 1 < a < n gibt mit
1. a n−1 ≡ 1 (mod n) und
2. für alle Primzahlen p mit p | n − 1 gilt: a n−1
p
≢ 1 (mod n).
Die Idee von Pratt ist ein rekursiver Ansatz auf der Grundlage des Lemmas:
Man rät sowohl a als auch die Primteiler q und überprüft rekursiv, dass es
sich tatsächlich um Primzahlen handelt.
Beweis des Lemmas:
„⇒“ Sei n eine Primzahl, dann ist nach Lemma Z ∗ n zyklisch mit Ordnung
n − 1. Wähle einen Erzeuger a. Dann gilt a n−1 mod n = 1 und a m
mod n ≠ 1 für alle m < n − 1, insbesondere für m = n−1.
q
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