Algorithmische Zahlentheorie und Kryptographie - Mitschriften von ...

• Für ungerades n gilt (mit n = 2m + 1):
π(n) = π(2m + 1) ≥ π(2m) ≥
2m
log 2m − 1 >
2m
log(2m + 1) − 1
= 2m + 1
log(2m + 1) − 1
log(2m + 1) − 1
≥ 2m + 1
log(2m + 1) − 2
Damit ist die untere Schranke bewiesen.
Wir beweisen nun die obere Schranke π(n) ≤ 3n . Sei B log n m = ( )
2m+1
m .
Lemma: Es gilt für m ∈ N und Primzahlen p:
∏
p ≤ B m .
m+2≤p≤2m+1
□
Beweis: Es gilt:
B m =
(2m + 1)!
(m + 1)! · m!
=
(m + 2) · · · (2m + 1)
1 · · · m
Also gilt für jede Primzahl p mit m + 2 ≤ p ≤ 2m + 1, dass p | B m . Daraus
folgt die Behauptung.
Lemma: Es gilt B m < 4 m .
□
Beweis: Es gilt:
( ) 2m + 1
2B m =
+
m
( ) 2m + 1
<
m + 1
2m+1
∑
Lemma (Erdös): Für n ≥ 2 und Primzahlen p gilt:
∏
p ≤ 4 n−1 .
p≤n
i=0
( ) 2m + 1
= 2 2m+1 = 2 · 4 m
i
□
Beweis: Per Indukion über n:
• Induktionsanfang n = 2 klar.
• Induktionsschritt: Fallunterscheidung
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