Algorithmische Zahlentheorie und Kryptographie - Mitschriften von ...

Satz (Bach, Damgård, Landrock, Pomerance):
1. Der Algorithmus hat erwartete polynomielle Laufzeit.
2. Der Algorithmus liefert mit Wahrscheinlichkeit kleinergleich 1 4 l eine
zerlegbare Zahl.
3. Für l = 1 ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Algorithmus eine zerlegbare
Zahl liefert, kleinergleich
k 2 1
4 √ k−2 .
1.6 Der Solovay-Strassen-Test
1.6.1 Quadratische Reste
Definition: Sei m ≥ 2. Dann ist a ∈ Z ein quadratischer Rest modulo
m, falls x existiert mit x 2 ≡ a (mod m) und a⊤m. Ein Element a heißt
quadratischer Nicht-Rest, wenn a kein quadratischer Rest ist, aber a⊤m gilt.
Beispiel: Sei m = 21. Dann ist die Menge der quadratischen Reste modulo
21 gleich {1, 4, 16, 18, . . .} (mit 9 2 mod 21 = 18).
Bemerkung: Die Menge der quadratischen Reste modulo m in Z ∗ m bildet
eine Untergruppe von Z ∗ m.
Lemma (Eulers Kriterium): Sei p eine ungerade Primzahl.
1. Die Menge der quadratischen Reste in Z ∗ p bildet eine Untergruppe von
Z ∗ p der Ordnung p−1
2 .
2. Für jede Zahl a ∈ Z ∗ p gilt:
• Falls a quadratischer Rest ist, so ist a p−1
2 mod p = 1.
• Falls a ein quadratischer Nicht-Rest ist, so ist a p−1
2 mod p = −1.
Beweis: Z ∗ p ist zyklisch, sei also g ein Erzeuger von Z ∗ p.
1. Die Elemente der Form g 2i mit 0 < i < p−1
2
sind unterschiedliche
quadratische Reste.
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