Algorithmische Zahlentheorie und Kryptographie - Mitschriften von ...

1.1.3 Komplexität grundlegender Probleme
Proposition: Seien n und m ganze Zahlen. Die Schulmethode zum . . .
• Addieren benötigt O(log n + log m) Bitoperationen.
• Subtrahieren benötigt O(log n + log m) Bitoperationen.
• Multiplizieren benötigt O(log n · log m) Bitoperationen.
• Dividieren mit Rest benötigt O((Log m − Log n + 1) · Log n) Bitoperationen.
In der Übung wird Multiplizieren in (log m + log n) 1.59 (mit 1.59 = log 3 + ε)
betrachtet.
Satz: Seien n, m ganze Zahlen mit Log n, Log m ≤ k.
1. Die Methode von Schönhagen und Strassen zum Multiplizieren von m
und n benötigt O(k · log k · log log k) ⊆ Õ(k) Bitoperationen.
2. Die Methode von Newton zum Dividieren mit Rest benötigt ebenfalls
Õ(k) Bitoperationen.
Beide Methoden basieren auf der diskreten bzw. schnellen Fourier-Transformation.
Proposition: Die modulare Exponentiation (a n mod m) kann mit
O(log m log 2 n) (Schulmethode) bzw. Õ(log m log n) (Schönhagen, Strassen,
Newton) Bitoperationen durchgeführt werden.
Beispiel: Perfekte Potenzen
Definition: Eine Zahl n ist eine perfekte Potenz, falls es a, b ∈ N gibt mit
a, b ≥ 2 und a b = n.
Idee hier: Teste alle b bis zu einer oberen Schranke, wegen a ≥ 2 gilt b ≤ log n.
Um dann für ein festes b ein passendes a zu finden, benutzen wir binäre Suche.
Algorithmus mit Vorbedingung n ≥ 4:
1 b = 2 ;
2 while (2 b ≤n ) {
3 a min = 1 ;
4 a max = n ;
5 while ( ( a max − a min ) ≥ 2) {
6 a = 1 ( a 2 min + a max ) ;
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