Algorithmische Zahlentheorie und Kryptographie - Mitschriften von ...

Entsprechend folgt M q = λ q (p), insgesamt also p−1
2
mit einem alten Lemma folgt:
( ) ( p q
q p)
q−1
2
= λ p (q) + λ q (p), d.h.
= (−1) λp(q) (−1) λq(p) = (−1) λp(q)+λq(p) = (−1) p−1 q−1
2 2
Damit haben wir das Quadratische Reziprozitätsgesetz für zwei Primzahlen
p ≠ q bewiesen.
Wir betrachten nun den allgemeinen Fall des Quadratischen Reziprozitätsgesetzes,
d.h. seien m, n ≥ 3 ungerade. Zu zeigen: m m−1 n−1
= (−1)
n
2 n
2 . Für m
m̸⊤n ist die Behauptung trivial (beide Seiten der Gleichung sind null), d.h.
ab jetzt seien m und n teilerfremd.
Beweis per Induktion über die Anzahl der Primfaktoren r und s von m bzw.
n.
□
• Induktionsanfang: r + s = 2, in diesem Fall sind m und n Primzahlen,
diesen Fall haben wir schon bewiesen.
• Induktionsschritt: r + s > 2, dann ist m oder n keine Primzahl, etwa n.
Schreibe n = kl mit k, l ≥ 3. Dann gilt nach Induktionsannahme:
( m
) ( )
k
(
= (−1) k−1 m−1
m
) ( )
l
2 2 und
= (−1) l−1 m−1
2 2
k m
l m
Wegen der Multiplikativität des Jacobi-Symbols ( ( ) (
m
n = m
) ( m
)
k l ) gilt
dann:
( m
) ( n
(( m
) ( m
)) (( ) ( k l
=
·
n m)
k l m m))
( (m ) ( )) (
k (m ) ( ))
l
=
·
k m l m
Es gilt nun im Exponenten:
= (−1) m−1 l−1
2
2 + m−1
2
= (−1) m−1 k+l−2
2 2
k−1
2
n − 1
2
= kl − 1
2
=
(k − 1)(l − 1) + k + l − 2
2
≡ 2
k + l − 2
2
Damit ist der Induktionsschritt gezeigt.
□
Somit ist das Quadratische Reziprozitätsgesetz bewiesen.
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