Algorithmische Zahlentheorie und Kryptographie - Mitschriften von ...

„⊇“ Gelte i < m und i⊤m. Dann ist xi + ym = 1, also xi ≡ 1 (mod m),
damit ist schon x = i −1 in Z m .
„⊆“ Gelte i ̸⊤m, also existiert (i, m) = d > 1. Setze c = m , dann gilt
d
m | ic = i m = dt m = tm = 0, aber c ≠ 0, also ist i ein Nullteiler und
d d
damit keine Eineheit.
Definition: Die Eulersche Phi-Funktion ist definiert als
□
ϕ(m) = |Z ∗ m| .
1.2.4 Chinesischer Restsatz
Definition: Seien R 1 = (R 1 , +, ·, 0, 1) und R 2 = (R 2 , +, ·, 0, 1) zwei Ringe.
Eine Abbildung f : R 1 → R 2 heißt Ringhomomorphismus, wenn für alle
a, b ∈ R 1 gilt:
• f(a + b) = f(a) + f(b)
• f(a · b) = f(a) · f(b)
Definition: Das Produkt R 0 × R 1 auf Ringen R 0 = (R 0 , + 0 , ·0, 0 0 , 1 0 ),
R 1 = (R 1 , + 1 , ·1, 0 1 , 1 1 ) ist definiert als
(R 0 × R 1 , +, ·, (0 0 , 0 1 ) =: 0, (1 0 , 1 1 ) =: 1)
mit (a 0 , a 1 ) + (b 0 , b 1 ) := (a 0 + 0 b 0 , a 1 + 1 b 1 ) (und für · entsprechend).
Satz (Chinesischer Restsatz): Seien m, n > 1 mit m⊤n. Dann ist die
folgende Abbildung ein Ringisomorphismus:
Z mn → Z m × Z n mit a ↦→ (a mod m, a mod n)
Beweis: Die Homomorphie-Eigenschaften werden wir nicht nachweisen, jedoch
die Bijektivität.
Sei a = yn mod m = 1 und a = yn mod n = 0, außerdem b = xm mod m = 0
und b = xm mod n = 1. Sei nun (c, d) ∈ Z m ×Z n . Dann gilt: ca+db mod m =
c und ca + db mod n = d, also ca + db mod mn ↦→ (c, d).
Folgerung:
□
1. R ∗ = R ∗ 0 × R ∗ 1.
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