Algorithmische Zahlentheorie und Kryptographie - Mitschriften von ...

Also:
2 k ( k
e
) k
< 4 n−1 (⋆⋆)
Wir können 4 n−1 schreiben als (2 2 ) n−1 , dann folgt k·(ln k+ln 2−1) < (2 ln 2)n.
Wir zeigen daraus per Widerspruchsbeweis, dass gilt:
Wir nehmen also an: k ≥ 2n
ln n
2(ln 2)n > 2n
ln n
k < 2n
ln n ≤
3n
log n
. Einsetzen in (⋆⋆) liefert:
(
ln 2n )
ln n + ln 2 − 1 = 2n (ln n + ln 2 − ln ln n + ln 2 − 1).
ln n
Daraus ergibt sich: (1 − ln 2) ln n < ln ln n − 2 ln 2 + 1. Für n ≥ 27 ergibt
sich ein Widerspruch (siehe Übung), für n < 27 läßt sich dies per Hand
nachrechnen.
Damit ist der Satz von Qebyxv bewiesen.
□
Bemerkung: Zum Lemma von Erdös, das besagt, dass ∏ p≤n p < 4n−1 ist,
gilt als untere Schranke:
Satz: Für n ≥ 2 gilt ∏ p≤2n p > 2n .
Beweis: Gleiche Technik.
1.3 Algebraische Grundlagen
1.3.1 Gruppen und Untergruppen
Definition: Eine Gruppe ist G = (G, ·) mit (·): G × G → G assoziativ und
zusätzlich gibt es 1 ∈ G (neutrales Element) mit
1. g · 1 = 1 · g = g für alle g ∈ G.
2. für alle g ∈ G existiert h ∈ G (inverses Element zu g, Notation g −1 )
mit g · h = h · g = 1.
Die Gruppe heißt kommutativ (abelsch), falls die Verknüpfung kommutativ
ist.
Lemma:
1. Das neutrale Element ist eindeutig bestimmt.
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