Algorithmische Zahlentheorie und Kryptographie - Mitschriften von ...

Definition: Der größte geimansame Teiler ggT(m, n) (kurz: (m, n)) zweier
Zahlen m, n ist wie folgt definiert:
{
max(D(m) ∩ D(n)) falls m ≠ 0 oder n ≠ 0
(m, n) := ggT(m, n) :=
0 sonst
Zwei Zahlen m, n heißen teilerfremd, in Zeichen m⊤n, falls (m, n) = 1.
Lemma: Für den größten gemeinsamen Teiler gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:
1. (m, n) = (n, m)
2. (m, n) = (−m, n) = (m, −n) = (−m, −n)
3. (m, 0) = (m, m) = m
4. (m, n) = (m, n + xm) (insbesondere (m, n) = (m, n − m))
Proposition: Für n ∈ Z und d > 0 existieren eindeutige q, r mit 0 ≤ r < d,
so dass n = q · d + r.
Definition: Sei n = q · d + r mit d > 0, 0 ≤ r < d. Wir definieren dann
n mod d := r und n div d := q
Wegen obiger Proposition ist dies wohldefiniert.
Proposition:
1. Für m > 0 gilt, dass (m, n) = (m, n mod m) ist.
2. Für alle m, n ∈ Z existieren x, y ∈ Z mit (m, n) = xm + yn.
3. Für alle m, n ∈ Z sind m, n teilerfremd genau dann, wenn x, y existieren
mit 1 = xm + yn.
4. Für alle k, m, n ∈ Z gilt |k| · (m, n) = (km, kn)
5. Sind m, n teilerfremd, so ist (l, m) = (ln, m)
6. Sind m, n teilerfremd und m | k sowie n | k, so ist mn | k.
Beweis:
5