Algorithmische Zahlentheorie und Kryptographie - Mitschriften von ...

Wir beweisen dies zunächst für (ungerade) Primzahlen und verallgemeinern
dies später auf alle Zahlen. Eine äquivalente Formulierung ist:
( m
)
(
= (−1) m−1 · n−1 n
2 2 .
n m)
Für eine ungerade Primzahl p definieren wir:
H p = {1, . . . , p − 1
2 }
S p (a) = {h · a mod p | h ∈ H p } = (H p · a) mod p
(für a⊤p)
T p (a) = S p (a) ∩ H p
R p (a) = S p (a) \ H p
k p (a) = |R p (a)|
Lemma: Sei p ungerade Primzahl, p⊤a. Dann ist
H p = T p (a) ⊎ (p − R p (a)).
Beweis: Zunächst gilt |S p (a)| = |H p | = p−1
2
nach Definition von S p (a), da wir
in einem Körper rechnen. Wenn wir nun zeigen, dass T p (a) ∩ (p − R p (a)) = ∅
ist, sind wir fertig: Wir haben ausreichend Elemente auf der rechten Seite der
Gleichung im Lemma, da |T p (a)| + |R p (a)| = |S p (a)| = |H p | gilt.
Angenommen, ia ≡ p − ja (mod p) für i, j ∈ H p . Dann ist (i + j)a ≡ p p ≡ p 0,
also p | (i + j), aber 0 < i + j < p!
( )
Lemma: Sei p ungerade Primzahl mit a⊤p. Dann ist = (−1) kp(a) .
a
p
□
Beweis: Wir betrachten ∏ i∈H p
i, spalten nach T p und R p auf und kürzen
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