Algorithmische Zahlentheorie und Kryptographie - Mitschriften von ...

Die unterschiedlichen möglichen Artjuhov-Folgen ergeben dann Aufschluß
über die Zerlegbarkeit, betrachte folgende Tabelle, wobei ⋆ jeweils eine Zahl
/∈ {1, −1} sei:
Typ a u a 2u . . . a 2i u
a 2i+1 u
. . . a 2k−1 u
a 2k u
Ergebnis
1A 1 1 . . . 1 1 . . . 1 1 keine Aussage
1B ⋆ ⋆ . . . −1 1 . . . 1 1 keine Aussage
2 ⋆ ⋆ . . . ⋆ ⋆ . . . ⋆ −1 zerlegbar
2 ⋆ ⋆ . . . ⋆ ⋆ . . . ⋆ ⋆ zerlegbar
3 ⋆ ⋆ . . . ⋆ 1 . . . 1 1 zerlegbar
Beispiel: n = 325 = 5 2 · 13, n − 1 = 324 = 81 · 2 2 , die Artjuhor-Folge
Definition:
a b 0 = a 81 b 1 = a 162 b 2 = a 324
2 252 129 66
7 307 324 1
32 57 324 1
49 324 1 1
65 0 0 0
126 1 1 1
201 226 51 1
224 274 1 1
• Falls n zerlegbar ist, so ist ein A-Zeuge für die Zerlegbarkeit von n
eine Zahl a ∈ {1, . . . , n − 1} mit a u mod n ≠ 1 und a u2i mod n ≠ n − 1
für alle i < k; die Nicht-Zeugen heißen A-Lügner.
• Die Menge aller A-Zeugen sei W A n , die Menge aller A-Lügner sei L A n .
Satz (Miller, Bach): Falls die erweiterte Riemannsche Hypothese gilt, so
gibt es zu jeder ungeraden zerlegbaren Zahl ≥ 3 einen A-Zeugen a < 2 ln n.
Bemerkung: Falls die erweiterte Riemannsche Hypothese gilt, braucht man
nur alle a < 2 ln n auf die Zeugen-Eigenschaft zu testen, um einen deterministischen
polynomiellen Primzahltest zu erhalten.
Folgerung: Falls die erweiterte Riemannsche Hypothese gilt, so ist
PRIMES ∈ P.
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