Algorithmische Zahlentheorie und Kryptographie - Mitschriften von ...

1.3.3 Ringe und Körper
Erinnerung: Wir betrachten immer kommutative Ringe mit 1 (≠ 0).
Bemerkung: In jedem Monoid lässt sich a i mit O(log i) Monoidmultiplikationen
berechnen.
Lemma: Die Menge der Einheiten eines Ringes ist eine abelsche Gruppe.
Satz: Sei m ≥ 2. Dann ist Z m ein Körper genau dann, wenn m eine Primzahl
ist.
Beweis: i ∈ Z m ist invertierbar genau dann, wenn i⊤m ist. Falls m Primzahl,
so ist jedes Element invertierbar. Ist m keine Primzahl, so ist jeder Teiler
nicht invertierbar, und es gibt einen nicht trivialen Teiler.
□
1.3.4 Erzeuger von endlichen Körpern
Satz: Die Einheitengruppe (d.h. die multiplikative Gruppe) eines endlichen
Körpers ist zyklisch.
Satz: Jede endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers
ist zyklisch.
Wir betrachten den Fall, dass der Körper Z p mit einer Primzahl p ist. Zunächst
ein Hilfssatz:
Hilfssatz: Sei G eine Gruppe und g ∈ G mit maximaler Ordnung und
h ∈ G beliebig. Dann gilt: o G (h) | o G (g).
Beweis: Angenommen, o G (g) = q k · r für eine Primzahl q mit q ∤ r. Sei
o G (h) = q k′ · r ′ . Zeige: k ′ ≤ k. Angenommen, k ′ > k. Sei h ′ = h r′ . Dann
gilt: o G (h ′ ) = q k′ . Sei g ′ = g qk . Dann gilt: o G (g ′ ) = r. Für g ′ · h ′ erhalten
wir mit dem Lemma unten, o G (g ′ h ′ ) = q k′ · r > q k · r. Ein Widerspruch zur
Maximalität der Ordnung von g.
□
Lemma: Sei G eine Gruppe und g ∈ G. Falls o G (g)⊤o G (h), so
o G (g · h) = o G (g) · o G (h).
Beweis:
• Zuerst zeigen wir: 〈g〉 〈h〉 ist Gruppe der Ordnung o G (g) · o G (h). Die
Gruppe hat die Ordnung k