Algorithmische Zahlentheorie und Kryptographie - Mitschriften von ...

Ziel ist nun eine Abschätzung für ∣ ∣
∣L F n
∣. Triviale Abschätzung: ∣ ∣L F ∣
n ≤ n−ϕ(n),
da die Elemente aus Z n , die nicht in Z ∗ n sind, nie F-Lügner sein können.
Problem ist: Wenn n viele Primfaktoren hat, dann ist ϕ(n) klein!
Satz: Falls n ≥ 3 ungerade und falls es einen F-Zeugen in Z ∗ n gibt (d.h.
Wn
F ∩ Z ∗ n ≠ ∅), so ist die Fehlerwahrscheinlichkeit des Fermat-Tests kleiner
als 1.
2
Beweis: Es reicht, zu zeigen, dass L F n eine Untergruppe von Z ∗ n ist. Denn
falls es dann einen F-Zeugen gibt, muss L F n echte Untergruppe sein, also wäre
|L F n | ≤ 1 2 |Z∗ n|. Wir benutzen das Untergruppenkriterium:
1. Es gilt 1 ∈ L F n , da 1 n−1 mod n = 1.
2. Zu L F n · L F n : Aus a n−1 mod n = 1 und b n−1 mod n = 1 folgt
(ab) n−1 = (a n−1 )(b n−1 ) = 1 · 1 = 1.
Es bleibt noch der Fall, dass es keinen F-Zeugen in Z ∗ n gibt:
Definition: Eine ungerade Zahl n ≥ 3 heißt Carmichael-Zahl, falls für alle
a ∈ Z ∗ n gilt: a n−1 ≡ 1 mod n.
□
Satz von Alford, Granville und Pomerance: Es gibt ein x 0 , so dass für alle
x ≥ x 0 gilt:
|{y ≤ x | y ist Carmichael-Zahl}| ≥ x 2 7 .
Satz: Jede Carmichael-Zahl hat mindestens drei verschiedene Primfaktoren.
Beweis durch Widerspruch: Wir nehmen an, n ist kein Produkt von mindestens
drei Primzahlen. Wir konstruieren einen F-Zeugen in Z ∗ n. Fallunterscheidung:
1. Fall: n = p k m mit p Primzahl, k ≥ 2 und p ∤ m.
a) Falls m = 1, so setze a = 1 + p.
b) Falls m > 1, so wähle a als 1 ≤ a < p 2 m ≤ n mit a ≡ 1 + p (mod p 2 )
und a ≡ 1 (mod m).
Wir zeigen, dass a ein F-Zeuge in Z ∗ n ist.
(i) Es gilt a ∈ Z ∗ n, da p ∤ a, denn p 2 | a − (1 + p). Außerdem gilt
(m, a) = 1 nach Wahl von a.
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