Algorithmische Zahlentheorie und Kryptographie - Mitschriften von ...

Beweis des Satzes von Qebyxv: Wir benötigen Binomialkoeffizienten,
daher zunächst einige Rechenregeln:
Lemma:
1. ( (
n
0)
=
n
n)
= 1
2. ( ) (
n
k + n
) (
k+1 = n+1
)
k+1
3. ( ) (
n
k = n
)
n−k
4. ( ) (
n
k < n
⌊
k+1)
für k <
n
⌋
2
5. 2 n ≤ 22n
2n
≤ ( 2n
n
)
< 2 2n für n > 0
Wir zeigen nun zunächst die untere Schranke
dafür K n = ( )
2n
n , seien weiter
n − 2 ≤ π(n). Definiere
log n
ν p (n) = max{i : p i | n} und N p (n) = max{p i : p i | n}.
Lemma (Legendre):
ν p (n!) = ∑ k>0
⌊ n
p k ⌋
.
Beweis: Betrachte die Relation R(p, n) = {(i, k) : 1 ≤ i ≤ n, p k | i}. Als
Matrix für p = 2, n = 16 ergibt sich:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
3 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
Wir summieren einmal zeilenweise und einmal spaltenweise:
∑
⌊ ⌋ n
= ∑ (⋆)
ν
p k p (i) = ν p (n!)
k>0
} {{ }
zeilenweise
1≤i≤n
} {{ }
spaltenweise
Dabei gilt (⋆), da es im Falle p k | n! Zahlen 1 ≤ i 0 < . . . < i r−1 ≤ n und
k 0 , . . . , k r−1 gibt mit k 0 + . . . + k r−1 = k und p k j
| i j für alle j < r nach
Folgerung aus dem Fundamentalsatz.
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