Algorithmische Zahlentheorie und Kryptographie - Mitschriften von ...

10 i f ( b == 1)
11 return "composite" ;
12 }
13 return "probably prime" ;
Lemma:
1. Der Miller-Rabin-Test macht nur Fehler für zerlegbare Zahlen.
2. Für zerlegbare Nicht-Carmichael-Zahlen ist die Fehlerwahrscheinlichkeit
kleinergleich 1 2 .
3. Der Miller-Rabin-Test kommt mit O(log n) arithmetischen und
O(log 3 n) bzw. Õ(log 2 n) Binäroperationen aus.
Ansatz zum Beweis der Korrektheit: Suche eine echte Untergruppe B n mit
L A n ⊆ B n < Z ∗ n
Sei n eine Carmichael-Zahl, n − 1 = u · 2 k wie oben. Der MR-Index von n ist
{
}
ν(n) = max i < k | ∃ a: a ∈ L A n ∧ a u2i mod n = n − 1
Bemerkung: ν(n) ist wohldefiniert (da (n − 1) u mod n = n − 1, also ist die
Menge nicht leer) und es gilt 0 ≤ ν(n) < k.
Definiere nun
B n = { ∣
a ∈ Z n a ν(n) mod n ∈ {1, −1} } ⊆ Z ∗ n
Lemma:
1. L A n ⊆ B n .
2. B n ist Untergruppe von Z ∗ n.
3. B n ist echte Untergruppe.
Beweis:
1. Falls a ∈ L A n , dann gibt es entweder i mit a u2i mod n = n − 1 oder
a u mod n = 1, damit ist a ∈ B n .
2. Mittels Untergruppenkriterium: 1 ∈ B n und B n B n ⊆ B n .
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