Algorithmische Zahlentheorie und Kryptographie - Mitschriften von ...

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1.6.2 Das Jacobi-Symbol Definition: Sei a ∈ Z, n = p 0 · . . . · p r−1 ≥ 3 ungerade mit Primzahlen p i . Dann ist folgendes das Jacobi-Symbol: ( a = n) ∏ ( ) a p i
Satz: Sei n ≥ 3 ungerade. Dann gilt: Falls n ≡ 1 (mod 8) oder n ≡ 7 (mod 8), so ist ( 2 n) = 1. Falls n ≡ 3 (mod 8) oder n ≡ 5 (mod 8), so ist ( 2 n) =−1. Diese werden wir im nächsten Abschnitt beweisen, zunächst können wir nun aber einen Algorithmus angeben, der das Jacobi-Symbol ( a n) ausgibt. Vorbedingung: a ∈ Z und n ≥ 3 ungerade. 1 b = a mod n ; 2 c = n ; 3 s = 1 ; 4 while ( true ) { 5 while (4 | b ) 6 b = b / 4 ; 7 i f (2 | b ) { 8 i f ( c mod 8 ∈ {3 , 5}) 9 s = −s ; 10 b = b / 2 ; 11 } 12 i f ( b == 1) 13 return s ; 14 i f ( b mod 4 == c mod 4 == 3) 15 s = −s ; 16 (b , c ) = ( c mod b , b ) ; 17 } Satz: Der obige Algorithmus berechnet das Jacobi-Symbol mit O(log n) Schleifendurchläufen. Beweis: Zur Korrektheit benutze obiges Lemma und die Invariante ( a n) = s · ( b c) ; zur Laufzeit: ci+2 ≤ 1c 2 i. □ 1.6.3 Quadratisches Reziprozitätsgesetz Wir beweisen in diesem Abschnitt die beiden oben schon genannten Sätze: Satz (Quadratisches Reziprozitätsgesetz): Seien m, n ≥ 3 ungerade. Dann gilt: Falls m ≡ 1 (mod 4) oder n ≡ 1 (mod 4), so ist ( ) ( m n = n m) . Falls m ≡ 3 (mod 4) und n ≡ 3 (mod 4), so ist ( ) ( m n =− n m) . 42
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Seite 11 und 12: 2. Fall: b > 1 2 a, dann gilt a div
Seite 13 und 14: 3. es gilt das Distributivgesetz, d
Seite 15 und 16: 2. Multiplikativität: Falls m⊤n
Seite 17 und 18: = p k − p k−1 □ 1. m hat eine
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Seite 23 und 24: 2. Das inverse Element ist für jed
Seite 25 und 26: Lemma: Sei G zyklisch mit n := |G|
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Seite 29 und 30: • Wir zeigen noch: gh erzeugt die
Seite 31 und 32: Klasse co-RP: L ∈ co-RP genau dan
Seite 33 und 34: „⇐“ Sei G = Z ∗ n. Aus 1. f
Seite 35 und 36: Daraus folgt: (b) Sei n nun zerlegb
Seite 37 und 38: (ii) Es gilt a ∈ W F n , Beweis d
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Seite 41 und 42: 3. Da n eine Carmichael-Zahl ist, g
Seite 43: Die Elemente der Form a = g 2i+1 si
Seite 47 und 48: dann, betrachte dazu in Z p : ∏ i
Seite 49 und 50: a · ∑ i = ∑ ia = ∑ (ia − (
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Seite 57 und 58: Satz: Für jedes normierte Polynom
Seite 59 und 60: - Wir beweisen die Behauptung zunä
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Seite 65 und 66: 2. folgt aus (γ) 3. mit (δ) gilt
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Seite 75 und 76: und analog h i+1 − α = h i+1 −
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Bemerkung: Falls für genügend Paa
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3 Elliptische Kurven 3.1 Einleitung
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Abbildung 1: Idee der projektiven E
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Definition: Sei wieder C wie oben,
Seite 103 und 104:
3.3 Lentras Faktorisierungsalgorith
Seite 105:
Das Protokoll ist dann korrekt, d.h
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