Theoretische Physik 3, Quantenmechanik - TUM

Ein Beispiel, der harmonische Oszillator:
Ĥ = − 2 d 2 mω2
2mdx2+V(x) , V(x) =
2 x2 = ω 2
( x
β
) 2
, β =
√
mω
Schrödingergleichung:
d 2 ψ
dx 2 − m2 ω 2
2 x 2 ψ(x) = − 2m
2 Eψ(x)
mit y = x β , ε = E
ω/2 :
Eigenwerte: ε n = 2n +1 , E n =
Eigenfunktionen (normiert): ψ n (x) = (β√ π) −1/2
√
2 n n!
H n (y) sind die “Hermite-Polynome” (s. Anhang)
d 2 ψ
dy 2−y2 ψ(y) = −εψ(y)
(
n+ 1 )
ω
2
H n
( x
β
)
e −x2 /(2β 2 )
Orthonormalität:
∫ ∞
−∞
ψ m (x)ψ n (x)dx = δ m,n