Theoretische Physik 3, Quantenmechanik - TUM

Für 〈ψ (±N) |ψ (±N) 〉 ≠ 0 bedeutet dies λ ≥ (m ±N) 2 2 , was
natürlich nicht für alle N erfüllt sein kann. Es muss also ein
m max = m+N 1 geben, so dass für |ψ mmax 〉 def = (ˆL + ) N 1
|ψ〉 gilt:
ˆL z |ψ mmax 〉 = m max |ψ mmax 〉 und ˆL + |ψ mmax 〉 = 0 ;
ebenso ein m min = m−N 2 , so dass für |ψ mmin 〉 def = (ˆL − ) N 2
|ψ〉 :
ˆL z |ψ mmin 〉 = m min |ψ mmin 〉 und ˆL − |ψ mmin 〉 = 0 .
L z
z
m=l
L
y
Für den Eigenwert λ von ˆ⃗ L
2
folgt aus den
Identitäten ˆ⃗ L
2
= ˆL −ˆL + +ˆL z +ˆL 2 z ,
ˆ⃗L 2 = ˆL +ˆL− −ˆL z +ˆL 2 z :
x
ˆ⃗L 2 |ψ mmax 〉 = m max (m max +1) 2 |ψ mmax 〉 ,
ˆ⃗L 2 |ψ
m=−l
mmin 〉 = m min (m min −1) 2 |ψ mmin 〉 .
=⇒ λ = m max (m max +1) 2 = m min (m min −1) 2 .
mmin 2 −m min = mmax 2 +m max =⇒ m min = ±m max : m min = −m max
m max ≡ l ist die (Bahn-)Drehimpulsquantenzahl, m die Azimutalquantenzahl